Вычислите определенный интеграл ∫ dx / cos²2x, x=π/8..π/6

Другие предметы Университет Определенный интеграл определенный интеграл математический анализ интегрирование cos²2x вычисление интеграла университетская математика π/8 π/6 Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ dx / cos²(2x) на отрезке от x = π/8 до x = π/6, начнем с преобразования подынтегральной функции.

Мы знаем, что 1 / cos²(θ) = sec²(θ). Таким образом, наш интеграл можно переписать следующим образом:

∫ dx / cos²(2x) = ∫ sec²(2x) dx.

Теперь, чтобы вычислить этот интеграл, воспользуемся известной формулой для интеграла sec²(θ):

∫ sec²(θ) dθ = tan(θ) + C.

В нашем случае θ = 2x, поэтому:

∫ sec²(2x) dx = (1/2) * tan(2x) + C.

Теперь мы можем записать определенный интеграл:

∫ (sec²(2x)) dx от x = π/8 до x = π/6 = (1/2) * [tan(2x)] от x = π/8 до x = π/6.

Теперь подставим пределы интегрирования:

1. Сначала вычислим tan(2x) при x = π/6:
2. 2 * (π/6) = π/3, и tan(π/3) = √3.
3. Теперь вычислим tan(2x) при x = π/8:
4. 2 * (π/8) = π/4, и tan(π/4) = 1.

Теперь подставим эти значения в наш интеграл:

(1/2) * [tan(2(π/6)) - tan(2(π/8))] = (1/2) * [√3 - 1].

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ dx / cos²(2x) от x = π/8 до x = π/6 равно:

(1/2) * (√3 - 1).