1. Задача о мальчике и вёдрах с водой:

Для решения этой задачи нам нужно понять, при какой длине шага мальчика совпадут его период шагов с периодом собственных колебаний вёдер. Период собственных колебаний вёдер равен 1,5 с.

Сначала найдем частоту колебаний вёдер:

• Частота (f) равна обратной величине периода (T):
• f = 1 / T = 1 / 1,5 с = 0,67 Гц.

Теперь определим длину шага мальчика. Длина шага (L) связана с частотой (f) и скоростью (v) следующим образом:

• v = f * L.

Подставим известные значения:

• 0,7 м/с = 0,67 Гц * L.

Решаем уравнение для L:

• L = 0,7 м/с / 0,67 Гц ≈ 1,04 м.

Таким образом, длина шага мальчика составляет примерно 1,04 метра.

2. Задача о пружинном маятнике:

Для решения этой задачи нам нужно найти частоту вынуждающей силы, при которой маятник начнет резко увеличивать амплитуду колебаний. Это происходит, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы.

Сначала найдем собственную частоту маятника:

• Собственная частота (f0) определяется по формуле:
• f0 = (1 / 2π) * √(k / m),
• где k - жесткость пружины, m - масса маятника.

Подставим известные значения:

• k = 0,6 кН/м = 600 Н/м,
• m = 200 г = 0,2 кг.

Теперь подставим в формулу:

• f0 = (1 / 2π) * √(600 Н/м / 0,2 кг) ≈ (1 / 2π) * √(3000) ≈ (1 / 2π) * 54,77 ≈ 8,71 Гц.

Таким образом, частота внешней вынуждающей силы, при которой маятник начнет резко увеличивать амплитуду своих колебаний, составляет примерно 8,71 Гц.

3. Задача о пружинном маятнике в вагоне поезда:

Для решения этой задачи нам нужно определить скорость поезда, при которой пружинный маятник начнет сильно раскачиваться. Это происходит, когда частота колебаний маятника совпадает с частотой воздействия, связанной с расстоянием между стыками рельсов.

Сначала найдем собственную частоту маятника:

• Собственная частота (f0) определяется по формуле:
• f0 = (1 / 2π) * √(k / m).

Подставим известные значения:

• k = 20 Н/м,
• m = 200 г = 0,2 кг.

Теперь подставим в формулу:

• f0 = (1 / 2π) * √(20 Н/м / 0,2 кг) ≈ (1 / 2π) * √(100) = (1 / 2π) * 10 ≈ 1,59 Гц.

Теперь найдем частоту воздействия, связанного с расстоянием между стыками рельсов:

• Частота (f) определяется как:
• f = v / L,
• где v - скорость поезда, L - расстояние между стыками рельсов (20 м).

Теперь приравняем частоты:

• 1,59 Гц = v / 20 м.

Решаем уравнение для v:

• v = 1,59 Гц * 20 м ≈ 31,8 м/с.

Таким образом, скорость поезда, при которой пружинный маятник начнет сильно раскачиваться, составляет примерно 31,8 м/с.