Какое будет ускорение груза и кинематическая энергия всей системы как функция времени, если на однородный сплошной цилиндр массой М и радиусом R намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m, и в момент t=0 система пришла в движение, при этом пренебрегая трением в оси?

Физика 11 класс Динамика ускорение груза кинематическая энергия цилиндр легкая нить масса груза радиус цилиндра движение системы пренебрежение трением Новый

Для решения данной задачи, давайте сначала проанализируем систему. У нас есть однородный сплошной цилиндр и груз, прикрепленный к нему с помощью легкой нити. Когда система начинает двигаться, груз будет падать под действием силы тяжести, а цилиндр будет вращаться.

Шаг 1: Определим силы, действующие на груз.

• Сила тяжести, действующая на груз: F = m * g, где g - ускорение свободного падения.
• Тенсионная сила в нити: T.

Согласно второму закону Ньютона, для груза можно записать уравнение:

m * a = m * g - T, где a - линейное ускорение груза.

Шаг 2: Определим вращательное движение цилиндра.

Цилиндр вращается, и его угловое ускорение связано с линейным ускорением груза следующим образом:

a = α * R, где α - угловое ускорение цилиндра.

Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения, имеем:

T * R = I * α, где I - момент инерции цилиндра.

Для однородного цилиндра момент инерции I = (1/2) * M * R^2.

Шаг 3: Подставим выражения и решим систему уравнений.

Теперь у нас есть две основные уравнения:

1. m * a = m * g - T
2. T * R = (1/2) * M * R^2 * (a/R)

Из второго уравнения получаем:

T = (1/4) * M * a.

Теперь подставим T из второго уравнения в первое:

m * a = m * g - (1/4) * M * a.

Соберем все a в одну сторону:

(m + 1/4 * M) * a = m * g.

Теперь можно выразить ускорение a:

a = (m * g) / (m + 1/4 * M).

Шаг 4: Найдем кинематическую энергию системы.

Кинематическая энергия груза и цилиндра будет зависеть от их скоростей. Скорость груза v и угловая скорость цилиндра ω связаны через:

v = R * ω.

При этом кинематическая энергия системы E будет равна:

E = (1/2) * m * v^2 + (1/2) * I * ω^2.

Подставляем I и выражаем ω через a:

E = (1/2) * m * (R * (a*t))^2 + (1/2) * (1/2 * M * R^2) * (a/R)^2.

После подстановки и упрощения мы получим:

E = (1/2) * m * R^2 * (a * t)^2 + (1/4) * M * a^2 * t^2.

Теперь, подставив значение a, мы получим кинематическую энергию как функцию времени.

Итог:

• Ускорение груза: a = (m * g) / (m + 1/4 * M).
• Кинематическая энергия системы: E = (1/2) * m * R^2 * ((m * g) / (m + 1/4 * M) * t)^2 + (1/4) * M * ((m * g) / (m + 1/4 * M))^2 * t^2.

Таким образом, мы получили выражение для ускорения груза и кинематической энергии системы как функции времени.