Чтобы найти амплитуду колебаний, воспользуемся законом сохранения механической энергии для гармонического осциллятора. Механическая энергия в таком случае сохраняется и может быть представлена как сумма кинетической и потенциальной энергии:

Шаг 1: Запишем формулы для кинетической и потенциальной энергии.

• Кинетическая энергия (K) равна: K = (m * v^2) / 2, где m - масса, v - скорость.
• Потенциальная энергия (U) равна: U = (k * x^2) / 2, где k - жесткость пружины, x - смещение от положения равновесия.

Шаг 2: Запишем уравнение для полной механической энергии.

Полная энергия E = K + U = (m * v^2) / 2 + (k * x^2) / 2.

Шаг 3: Рассмотрим два случая: смещение на 4 см и на 3 см.

Обозначим:

• x1 = 4 см, v1 = 6 см/с
• x2 = 3 см, v2 = 8 см/с

Для первого случая:

• E = (m * (6^2)) / 2 + (k * (4^2)) / 2
• E = 18m + 8k

Для второго случая:

• E = (m * (8^2)) / 2 + (k * (3^2)) / 2
• E = 32m + 4.5k

Шаг 4: Приравняем обе энергии, так как E постоянна.

18m + 8k = 32m + 4.5k

Шаг 5: Упростим уравнение.

• 18m - 32m = 4.5k - 8k
• -14m = -3.5k
• 14m = 3.5k
• k = 4m

Шаг 6: Теперь подставим значение k обратно в одно из уравнений для полной энергии.

E = 18m + 8(4m) = 18m + 32m = 50m.

Шаг 7: Теперь найдем амплитуду A.

Полная энергия также может быть выражена через амплитуду:

E = (k * A^2) / 2.

Подставим значение k:

50m = (4m * A^2) / 2.

100 = 4A^2.

A^2 = 25.

A = 5 см.

Ответ: Амплитуда колебаний составляет 5 см.