10. В прямоугольном треугольнике гипотенуза на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Как найти стороны этого треугольника?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник гипотенуза катеты задача по геометрии стороны треугольника решение уравнений свойства треугольника математическая задача геометрические фигуры нахождение сторон треугольника Новый

Для решения данной задачи, давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника. Пусть:

• a - один из катетов;
• b - другой катет;
• c - гипотенуза.

Теперь мы можем записать условия задачи в виде уравнений:

1. Согласно первому условию, гипотенуза на 1 больше одного из катетов. Предположим, что гипотенуза больше катета a, тогда:
c = a + 1
2. Согласно второму условию, сумма катетов на 4 больше гипотенузы, то есть:
a + b = c + 4

Теперь подставим первое уравнение во второе. Заменим c на (a + 1):

a + b = (a + 1) + 4

Упростим это уравнение:

a + b = a + 5

Теперь вычтем a из обеих сторон:

b = 5

Теперь мы знаем, что один из катетов b равен 5. Теперь подставим значение b в первое уравнение, чтобы найти a:

c = a + 1

И также подставим b в уравнение для суммы катетов:

a + 5 = c + 4

Теперь подставим значение c:

a + 5 = (a + 1) + 4

Упростим это уравнение:

a + 5 = a + 5

Это уравнение верно для любого значения a, но мы можем использовать значение b, чтобы найти c:

Теперь мы можем найти c, подставив b в первое уравнение:

c = a + 1

Так как у нас нет конкретного значения для a, мы можем выразить c через a:

c = a + 1

Теперь у нас есть:

• b = 5
• c = a + 1

Теперь давайте использовать теорему Пифагора, чтобы найти a:

a^2 + b^2 = c^2

Подставим значения b и c:

a^2 + 5^2 = (a + 1)^2

Теперь упростим это уравнение:

a^2 + 25 = a^2 + 2a + 1

Вычтем a^2 из обеих сторон:

25 = 2a + 1

Теперь вычтем 1 из обеих сторон:

24 = 2a

Теперь разделим обе стороны на 2:

a = 12

Теперь, когда мы знаем значение a, можем найти c:

c = a + 1 = 12 + 1 = 13

Таким образом, у нас есть:

• a = 12
• b = 5
• c = 13

Итак, стороны прямоугольного треугольника равны:

12, 5 и 13.