Даны точки A(2,4), B(6,-4) и C(-8,-1). Как можно доказать, что треугольник ABC является прямоугольным?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники треугольник ABC доказать прямоугольный треугольник координаты точек геометрия 10 класс свойства треугольника Новый

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем воспользоваться критерием прямоугольного треугольника, основанным на вычислении длин сторон и применении теоремы Пифагора. Треугольник является прямоугольным, если квадрат длины одной из сторон равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Шаги решения:

1. Найдем длины сторон треугольника ABC:
• Длина стороны AB:

Используем формулу для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2): d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Подставляем координаты точек A(2, 4) и B(6, -4):

d_AB = √((6 - 2)² + (-4 - 4)²) = √(4² + (-8)²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5.

• Длина стороны BC:

Теперь найдем длину стороны BC, используя точки B(6, -4) и C(-8, -1):

d_BC = √((-8 - 6)² + (-1 + 4)²) = √((-14)² + (3)²) = √(196 + 9) = √205.

• Длина стороны AC:

Теперь найдем длину стороны AC, используя точки A(2, 4) и C(-8, -1):

d_AC = √((-8 - 2)² + (-1 - 4)²) = √((-10)² + (-5)²) = √(100 + 25) = √125 = 5√5.

2. Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Сравним квадраты длин сторон:

• (d_AB)² = (4√5)² = 80
• (d_BC)² = (√205)² = 205
• (d_AC)² = (5√5)² = 125

Теперь проверим, выполняется ли равенство:

80 + 125 = 205.

Это равенство подтверждает, что:

(d_AB)² + (d_AC)² = (d_BC)².

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора.