Как определить острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно √(3) + 1?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники острые углы прямоугольный треугольник радиусы окружностей отношение радиусов описанная окружность вписанная окружность Новый

Чтобы определить острые углы прямоугольного треугольника, зная, что отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно √3 + 1, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами треугольников.

Начнем с определения радиусов окружностей:

• Радиус описанной окружности (R) для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Если обозначить гипотенузу через c, то R = c/2.
• Радиус вписанной окружности (r) равен отношению площади треугольника к полупериметру. Полупериметр (s) равен (a + b + c) / 2, где a и b - катеты треугольника. Площадь (S) треугольника можно выразить как S = (a * b) / 2. Таким образом, r = S / s = (a * b) / (a + b + c).

Теперь, используя данное отношение:

R / r = √3 + 1.

Подставим выражения для R и r:

(c / 2) / ((a * b) / (a + b + c)) = √3 + 1.

Умножим обе стороны уравнения на 2(a + b + c) и упростим:

c * (a + b + c) = 2(a * b)(√3 + 1).

Теперь, чтобы найти углы, используем свойства углов в прямоугольном треугольнике:

• Обозначим острые углы треугольника как α и β.
• Согласно свойствам тригонометрии, для острых углов в прямоугольном треугольнике выполняются следующие соотношения:
  • tan(α) = a / b
  • tan(β) = b / a

Теперь, чтобы найти конкретные значения углов, можно использовать соотношение между углами и радиусами окружностей. В данном случае, зная, что R/r = √3 + 1, можно использовать тригонометрические функции для нахождения углов:

Сравнив это соотношение с известными значениями, можно заметить, что если α = 60°, то β = 30° (или наоборот). Это соответствует тому, что:

• sin(60°) = √3 / 2
• sin(30°) = 1 / 2

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника составляют 30° и 60°. Мы подтвердили, что отношение радиусов окружностей R и r равно √3 + 1 для данного случая.

В заключение, острые углы прямоугольного треугольника, где отношение радиусов окружностей R и r равно √3 + 1, равны 30° и 60°.