Как можно найти больший катет прямоугольного треугольника, если известны только гипотенуза и площадь?

• Площадь равна 6 см²
• Гипотенуза равна 5 см

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники найти больший катет прямоугольный треугольник гипотенуза площадь геометрия Новый

Чтобы найти больший катет прямоугольного треугольника, когда известны гипотенуза и площадь, мы можем использовать несколько формул и шагов. Давайте разберем это подробно.

Шаг 1: Используем формулу площади треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты (a и b) следующим образом:

P = (a * b) / 2

Где P - площадь треугольника. В нашем случае площадь равна 6 см². Таким образом, мы можем записать:

(a * b) / 2 = 6

Умножив обе стороны на 2, получаем:

a * b = 12

Шаг 2: Используем теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

a² + b² = c²

Где c - гипотенуза. В нашем случае гипотенуза равна 5 см, следовательно:

a² + b² = 5² = 25

Шаг 3: Составляем систему уравнений.

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) a * b = 12
• 2) a² + b² = 25

Шаг 4: Выразим один катет через другой.

Из первого уравнения мы можем выразить b через a:

b = 12 / a

Шаг 5: Подставим выражение b в второе уравнение.

Теперь подставим b в уравнение Пифагора:

a² + (12 / a)² = 25

Упростим это уравнение:

a² + 144 / a² = 25

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 25a² + 144 = 0

Шаг 6: Введем замену.

Обозначим z = a². Тогда уравнение примет вид:

z² - 25z + 144 = 0

Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения.

Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-25)² - 4*1*144 = 625 - 576 = 49

Корни уравнения можно найти по формуле:

z = (25 ± √D) / 2 = (25 ± 7) / 2

Таким образом, получаем два значения:

• z1 = (32) / 2 = 16
• z2 = (18) / 2 = 9

Шаг 8: Найдем значения катетов.

Теперь вернемся к a:

• Если z1 = 16, то a = √16 = 4, b = 12 / 4 = 3.
• Если z2 = 9, то a = √9 = 3, b = 12 / 3 = 4.

Шаг 9: Определим больший катет.

Таким образом, в обоих случаях один катет равен 4 см, а другой - 3 см. Следовательно, больший катет равен 4 см.

Итак, мы нашли больший катет нашего прямоугольного треугольника, который равен 4 см.