Через вершины A и C треугольника ABC, площадь которого равна 10 корней из 3, проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке M и продолжение стороны BC в точке N. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, находится на отрезке MN. Какова длина отрезка MN, если известно, что BC = 5 и угол ABC = 60°?

Геометрия 10 класс Окружности и треугольники геометрия треугольник ABC площадь треугольника окружность центр окружности угол ABC длина отрезка MN сторона BC точки M и N задачи по геометрии Новый

Для решения задачи о нахождении длины отрезка MN, необходимо использовать некоторые свойства треугольников и окружностей. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти эту длину.

Шаг 1: Определение сторон треугольника ABC

Из условия известно, что площадь треугольника ABC равна 10√3, BC = 5, и угол ABC = 60°. Площадь треугольника можно выразить через стороны и угол следующим образом:

Площадь = 0.5 * a * b * sin(C),

где a и b — длины сторон, образующих угол C, а C — угол между ними.

Шаг 2: Применение формулы для площади

В нашем случае:

• a = AC (недостающая сторона),
• b = AB (недостающая сторона),
• C = угол ABC = 60°.

Следовательно, мы можем записать:

10√3 = 0.5 * AB * BC * sin(60°).

Подставляя BC = 5 и sin(60°) = √3/2, получаем:

10√3 = 0.5 * AB * 5 * √3/2.

Упрощая, получаем:

10√3 = (5/4) * AB * √3.

Теперь можем выразить AB:

AB = (10√3 * 4) / (5√3) = 8.

Шаг 3: Нахождение длины AC

Теперь, чтобы найти длину AC, мы можем использовать теорему косинусов:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(60°).

Подставляя известные значения:

AC² = 8² + 5² - 2 * 8 * 5 * 0.5 = 64 + 25 - 40 = 49.

Таким образом, AC = √49 = 7.

Шаг 4: Нахождение радиуса окружности

Теперь, чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, используем формулу:

R = (abc) / (4 * S),

где a = BC, b = AC, c = AB, S = площадь треугольника.

Подставляем значения:

• a = 5,
• b = 7,
• c = 8,
• S = 10√3.

Теперь подставляем в формулу:

R = (5 * 7 * 8) / (4 * 10√3) = 280 / (40√3) = 7 / √3.

Шаг 5: Нахождение длины отрезка MN

Длина отрезка MN равна удвоенному радиусу описанной окружности:

MN = 2R = 2 * (7 / √3) = 14 / √3.

Таким образом, длина отрезка MN равна 14 / √3.