Какова длина отрезка MN, если через вершины A и C треугольника ABC, площадь которого равна 10 корней из 3, проведена окружность, пересекающая сторону AB в точке M и продолжение стороны BC в точке N? Известно, что BC = 5 и угол ABC = 60°, а центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке MN.

Геометрия 10 класс Окружности и треугольники длина отрезка MN треугольник ABC площадь треугольника окружность угол ABC сторона AB сторона BC геометрия задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длину отрезка MN, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем длину стороны AC

Известно, что площадь треугольника ABC равна 10 корней из 3. Площадь треугольника можно также выразить через стороны и угол:

Площадь = 0.5 * AB * BC * sin(угол ABC)

Подставим известные значения:

• BC = 5
• угол ABC = 60°, sin(60°) = корень из 3 / 2

Обозначим AB как x. Тогда:

10√3 = 0.5 * x * 5 * (√3 / 2)

Упростим уравнение:

10√3 = (5x√3) / 4

Умножим обе стороны на 4:

40√3 = 5x√3

Разделим обе стороны на 5√3:

x = 8

Таким образом, длина стороны AB равна 8.

Шаг 2: Найдем длину стороны AC

Теперь можем использовать теорему косинусов для нахождения стороны AC:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(угол ABC)

Подставим известные значения:

• AB = 8
• BC = 5
• угол ABC = 60°, cos(60°) = 1/2

AC² = 8² + 5² - 2 * 8 * 5 * (1/2)

AC² = 64 + 25 - 40

AC² = 49

Следовательно, AC = 7.

Шаг 3: Найдем длину отрезка MN

Теперь мы можем найти длину отрезка MN. Поскольку MN - это хорда окружности, описанной около треугольника ABC, мы можем использовать формулу длины хорды:

MN = 2 * R * sin(угол ACB / 2),

где R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Шаг 4: Найдем радиус R

Радиус R можно найти по формуле:

R = (abc) / (4 * S),

где a, b, c - стороны треугольника, а S - его площадь.

Мы знаем, что:

• a = 7 (AC)
• b = 5 (BC)
• c = 8 (AB)
• S = 10√3

Подставим значения:

R = (7 * 5 * 8) / (4 * 10√3) = 280 / (40√3) = 7 / √3.

Шаг 5: Найдем угол ACB

Используем теорему косинусов для нахождения угла ACB:

cos(угол ACB) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)

Подставляем известные значения:

cos(угол ACB) = (8² + 5² - 7²) / (2 * 8 * 5) = (64 + 25 - 49) / 80 = 40 / 80 = 0.5.

Следовательно, угол ACB = 60°.

Шаг 6: Подставим значения в формулу для MN

Теперь подставим угол ACB в формулу для MN:

MN = 2 * R * sin(60° / 2) = 2 * (7 / √3) * sin(30°) = 2 * (7 / √3) * (1/2) = 7 / √3.

Ответ:

Таким образом, длина отрезка MN равна 7 / √3.