Похожие вопросы
2025-10-17 07:29:45
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Ребро равно 2, М середина DD1. Найти угол между прямыми CM и BD₁.
Геометрия 10 класс Углы между прямыми в пространстве угол между прямыми куб ABCDA1B1C1D1 Ребро куба середина DD1 геометрия 10 класс задача на геометрию CM и BD₁ свойства куба треугольники в кубе решение задачи по геометрии Новый
2025-10-17 07:30:00
Для решения задачи найдем угол между прямыми CM и BD1 в кубе ABCDA1B1C1D1, где ребро куба равно 2, а точка M - середина ребра DD1.
1. Сначала определим координаты вершин куба:
- A(0, 0, 0)
- B(2, 0, 0)
- C(2, 2, 0)
- D(0, 2, 0)
- A1(0, 0, 2)
- B1(2, 0, 2)
- C1(2, 2, 2)
- D1(0, 2, 2)
2. Найдем координаты точки M, которая является серединой ребра DD1:
- Координаты D: (0, 2, 0)
- Координаты D1: (0, 2, 2)
- Координаты M: ((0 + 0)/2, (2 + 2)/2, (0 + 2)/2) = (0, 2, 1)
Теперь у нас есть координаты точек C, M и B:
- C(2, 2, 0)
- M(0, 2, 1)
- B(2, 0, 0)
3. Найдем векторы CM и BD1:
- Вектор CM = M - C = (0 - 2, 2 - 2, 1 - 0) = (-2, 0, 1)
- Вектор BD1 = D1 - B = (0 - 2, 2 - 0, 2 - 0) = (-2, 2, 2)
4. Теперь найдем угол между векторами CM и BD1. Угол между двумя векторами можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|), где A и B - векторы, θ - угол между ними.
5. Сначала найдем скалярное произведение векторов CM и BD1:
- A · B = (-2) * (-2) + 0 * 2 + 1 * 2 = 4 + 0 + 2 = 6
6. Теперь найдем длины векторов CM и BD1:
- |CM| = √((-2)² + 0² + 1²) = √(4 + 0 + 1) = √5
- |BD1| = √((-2)² + 2² + 2²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3
7. Подставим все значения в формулу для косинуса угла:
cos(θ) = 6 / (√5 * 2√3) = 6 / (2√15) = 3 / √15 = √15 / 5.
8. Теперь найдем угол θ:
θ = arccos(√15 / 5).
Таким образом, угол между прямыми CM и BD1 равен arccos(√15 / 5).