Похожие вопросы
2025-10-17 07:29:51
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Ребро равно 2, М середина DD1. Найти угол между прямыми CM и BD₁.
Геометрия 10 класс Углы между прямыми в пространстве куб ABCDA1B1C1D1 середина DD1 угол между прямыми CM и BD₁ геометрия 10 класс задачи по геометрии нахождение угла свойства куба прямые в пространстве решение задач по геометрии Новый
2025-10-17 07:30:07
Для решения задачи сначала необходимо понять, как расположены точки в кубе и как выглядят искомые прямые. Давайте разберем все шаги по порядку.
Шаг 1: Определим координаты вершин куба.
Предположим, что куб расположен в пространстве следующим образом:
- A(0, 0, 0)
- B(2, 0, 0)
- C(2, 2, 0)
- D(0, 2, 0)
- A1(0, 0, 2)
- B1(2, 0, 2)
- C1(2, 2, 2)
- D1(0, 2, 2)
Теперь найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка DD1:
- D(0, 2, 0)
- D1(0, 2, 2)
Координаты точки M будут:
M(0, 2, 1)
Шаг 2: Найдем векторы, соответствующие прямым CM и BD1.
Теперь найдем векторы CM и BD1:
- Вектор CM: C(2, 2, 0) и M(0, 2, 1)
- CM = M - C = (0 - 2, 2 - 2, 1 - 0) = (-2, 0, 1)
- Вектор BD1: B(2, 0, 0) и D1(0, 2, 2)
- BD1 = D1 - B = (0 - 2, 2 - 0, 2 - 0) = (-2, 2, 2)
Шаг 3: Найдем угол между векторами CM и BD1.
Для нахождения угла между двумя векторами мы можем использовать формулу:
cos(α) = (A · B) / (|A| * |B|),
где A · B - скалярное произведение векторов, |A| и |B| - их длины.
Сначала найдем скалярное произведение:
- CM · BD1 = (-2) * (-2) + 0 * 2 + 1 * 2 = 4 + 0 + 2 = 6
Теперь найдем длины векторов:
- |CM| = sqrt((-2)^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(4 + 0 + 1) = sqrt(5)
- |BD1| = sqrt((-2)^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12) = 2sqrt(3)
Теперь подставим все в формулу:
cos(α) = 6 / (sqrt(5) * 2sqrt(3)) = 6 / (2sqrt(15)) = 3 / sqrt(15)
Теперь найдем угол α:
α = arccos(3 / sqrt(15))
Ответ: Угол между прямыми CM и BD1 равен arccos(3 / sqrt(15)).