Из точки М проведен перпендикуляр МД, равный 6 см, к плоскости квадрата АВСД. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60º. Вопрос:

1. Докажите, что треугольники МАВ и МСВ являются прямоугольными;
2. Найдите сторону квадрата;
3. Найдите площадь треугольника АВД.

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники и их свойства геометрия треугольники Прямоугольные треугольники квадрат сторона квадрата площадь треугольника угол 60 градусов перпендикуляр наклонная доказательство Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных и построения необходимых элементов.

1. Доказательство, что треугольники МАВ и МСВ являются прямоугольными.

• Из точки М проведен перпендикуляр МД к плоскости квадрата АВСД. Это означает, что угол МДА равен 90º.
• Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60º. Это значит, что угол МВА равен 60º.
• В треугольнике МАВ угол МДА равен 90º, а угол МВА равен 60º. Следовательно, сумма углов в треугольнике МАВ равна 180º: 90º + 60º + угол АМВ = 180º. Значит, угол АМВ равен 30º.
• Таким образом, треугольник МАВ является прямоугольным, так как в нем есть угол 90º.
• Аналогично, в треугольнике МСВ угол МДС также равен 90º, а угол МВС равен 60º. Таким образом, треугольник МСВ также является прямоугольным.

2. Найдем сторону квадрата.

• Обозначим сторону квадрата как a.
• В треугольнике МАВ, который мы уже доказали, что он прямоугольный, можем использовать соотношения тригонометрии. У нас есть: МД (высота) = 6 см, и угол МВА = 60º.
• Согласно определению синуса: sin(60º) = противолежащий катет / гипотенуза. В нашем случае: sin(60º) = 6 / МА.
• Значит, МА = 6 / sin(60º). Поскольку sin(60º) = √3/2, то: МА = 6 / (√3/2) = 6 * 2/√3 = 12/√3 см.
• Теперь мы можем найти сторону квадрата: так как МА = a, то a = 12/√3 см.

3. Найдем площадь треугольника АВД.

• Площадь треугольника можно найти по формуле: S = 1/2 * основание * высота.
• В данном случае основание треугольника АВД - это сторона квадрата a, а высота равна высоте перпендикуляра МД, которая составляет 6 см.
• Площадь треугольника АВД: S = 1/2 * a * 6. Подставим значение стороны квадрата a = 12/√3 см.
• Тогда S = 1/2 * (12/√3) * 6 = 36/√3 см².

Таким образом, мы доказали, что треугольники МАВ и МСВ являются прямоугольными, нашли сторону квадрата, равную 12/√3 см, и площадь треугольника АВД, равную 36/√3 см².