Как можно определить длины сторон равнобедренного треугольника, если угол при вершине B равен 30° и площадь треугольника составляет 9 см²?

Геометрия 10 класс Равнобедренные треугольники длина сторон равнобедренный треугольник угол при вершине B площадь треугольника 30 градусов геометрия 10 класс Новый

Чтобы определить длины сторон равнобедренного треугольника с заданным углом при вершине B и площадью, мы можем использовать формулу для площади треугольника и некоторые свойства равнобедренного треугольника.

Дано:

• Угол при вершине B равен 30°.
• Площадь треугольника равна 9 см².

Обозначим:

• A - вершина треугольника,
• B - основание треугольника,
• C - вторая вершина,
• AB = AC = a - боковые стороны треугольника,
• BC = b - основание треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. В нашем случае высота будет опущена из точки A на основание BC. Обозначим её как h.

Площадь треугольника также можно выразить через формулу:

Площадь = 1/2 * основание * высота.

Так как угол B равен 30°, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты h:

h = a * sin(30°) = a * 1/2 = a/2.

Теперь подставим h в формулу для площади:

9 = 1/2 * b * (a/2).

Упрощая, получаем:

9 = (b * a) / 4.

Отсюда:

b * a = 36.

Теперь мы можем выразить b через a:

b = 36 / a.

Также, в равнобедренном треугольнике, по свойству углов, угол A равен углу C. Поскольку угол B равен 30°, углы A и C будут равны:

Угол A = Угол C = (180° - 30°) / 2 = 75°.

Теперь мы можем использовать закон косинусов для нахождения сторон:

По закону косинусов:

b² = a² + a² - 2 * a * a * cos(30°).

Упрощая, получаем:

b² = 2a²(1 - cos(30°)).

Зная, что cos(30°) = √3/2, подставляем:

b² = 2a²(1 - √3/2) = 2a²(2/2 - √3/2) = 2a²(2 - √3)/2 = a²(2 - √3).

Теперь подставим значение b = 36/a:

(36/a)² = a²(2 - √3).

Упрощая, получаем:

1296/a² = a²(2 - √3).

Умножаем обе стороны на a²:

1296 = a^4(2 - √3).

Теперь решаем это уравнение относительно a:

a^4 = 1296 / (2 - √3).

После нахождения a, мы можем найти b, подставив значение a в b = 36/a.

Таким образом, мы можем найти длины сторон равнобедренного треугольника, зная угол при вершине и площадь.