Как можно решить треугольник BCD, если известны угол B равный 45°, угол D равный 60° и сторона BC равная √3 см?

Геометрия 10 класс Решение треугольников решение треугольника BCD угол B 45° угол D 60° сторона BC √3 см геометрия треугольников задачи по геометрии свойства треугольников Новый

Для решения треугольника BCD, где известны угол B (45°), угол D (60°) и сторона BC (√3 см), мы можем использовать теорему синусов. Сначала найдем угол C, так как сумма углов треугольника равна 180°.

1. Найдем угол C:
   • Сумма углов треугольника: угол B + угол C + угол D = 180°.
   • Подставим известные значения: 45° + угол C + 60° = 180°.
   • Упростим уравнение: угол C = 180° - 45° - 60° = 75°.
2. Применим теорему синусов:
   • Согласно теореме синусов, мы можем записать пропорцию: (a/sinA) = (b/sinB) = (c/sinC), где a, b, c - стороны треугольника, а A, B, C - соответствующие углы.
   • Обозначим:
     • BC = a = √3 см, угол A = угол D = 60°;
     • BD = b, угол B = 45°;
     • CD = c, угол C = 75°.
3. Найдем сторону BD:
   • Используем пропорцию: (BC/sinA) = (BD/sinB).
   • Подставим известные значения: (√3/sin60°) = (BD/sin45°).
   • Зная, что sin60° = √3/2 и sin45° = √2/2, подставим их в уравнение: (√3/(√3/2)) = (BD/(√2/2)).
   • Упростим: (√3 * 2/√3) = (BD * 2/√2) => 2 = (BD * 2/√2).
   • Умножим обе стороны на √2/2: BD = √2 см.
4. Найдем сторону CD:
   • Используем пропорцию: (BC/sinA) = (CD/sinC).
   • Подставим известные значения: (√3/sin60°) = (CD/sin75°).
   • Зная, что sin75° = √6/4 + √2/4, подставим в уравнение: (√3/(√3/2)) = (CD/(√6/4 + √2/4)).
   • Упростим: 2 = (CD/(√6/4 + √2/4)).
   • Умножим обе стороны на (√6/4 + √2/4): CD = 2 * (√6/4 + √2/4).
   • Упростим: CD = (√6 + √2)/2 см.

Таким образом, мы нашли все стороны треугольника BCD:

• BD = √2 см;
• CD = (√6 + √2)/2 см;
• BC = √3 см (данная сторона).