Чтобы вычислить площадь ромба, если известна длина его стороны и сумма диагоналей, мы можем использовать несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Площадь ромба можно вычислить двумя способами:

• С помощью формулы через стороны и угол: S = a * h, где a - длина стороны, h - высота.
• С помощью диагоналей: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - длины диагоналей.

В нашем случае у нас есть длина стороны (a = 15 см) и сумма диагоналей (d1 + d2 = 42 см).

Поскольку мы знаем, что сумма диагоналей равна 42 см, мы можем обозначить диагонали как d1 и d2. Тогда:

d1 + d2 = 42 см.

Также в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Следовательно, мы можем выразить длины диагоналей через стороны ромба:

d1 = 2x и d2 = 2y, где x и y - половины диагоналей.

Таким образом, у нас есть:

2x + 2y = 42 см, или x + y = 21 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить x и y через сторону ромба:

a^2 = x^2 + y^2, где a = 15 см.

Подставляем значение:

15^2 = x^2 + y^2, то есть 225 = x^2 + y^2.

Теперь у нас есть система уравнений:

• x + y = 21
• x^2 + y^2 = 225

Из первого уравнения выразим y:

y = 21 - x.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

x^2 + (21 - x)^2 = 225.

Раскроем скобки:

x^2 + (441 - 42x + x^2) = 225.

Соберем все в одно уравнение:

2x^2 - 42x + 441 - 225 = 0.

Упростим:

2x^2 - 42x + 216 = 0.

Теперь разделим все на 2:

x^2 - 21x + 108 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 * 1 * 108 = 441 - 432 = 9.

Теперь находим корни:

x1,2 = (21 ± √9) / 2 = (21 ± 3) / 2.

Это дает нам два значения:

• x1 = 12 см
• x2 = 9 см

Теперь, зная x, можем найти y:

• Если x = 12, то y = 21 - 12 = 9.
• Если x = 9, то y = 21 - 9 = 12.

Теперь у нас есть длины диагоналей:

• d1 = 2 * 12 = 24 см
• d2 = 2 * 9 = 18 см

Теперь можем вычислить площадь ромба:

S = (d1 * d2) / 2 = (24 * 18) / 2 = 432 / 2 = 216 см².

Площадь ромба составляет 216 см².