Как можно вычислить площадь ромба, если длина его стороны равна 15 см, а сумма диагоналей составляет 42 см?

Геометрия 10 класс Площадь ромба площадь ромба вычисление площади длина стороны ромба сумма диагоналей геометрия 10 класс Новый

Чтобы вычислить площадь ромба, если известна длина его стороны и сумма диагоналей, мы можем использовать несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Понять формулы

Площадь ромба можно вычислить двумя способами:

• С помощью формулы через стороны и угол: S = a * h, где a - длина стороны, h - высота.
• С помощью диагоналей: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - длины диагоналей.

В нашем случае у нас есть длина стороны (a = 15 см) и сумма диагоналей (d1 + d2 = 42 см).

Шаг 2: Найти диагонали

Поскольку мы знаем, что сумма диагоналей равна 42 см, мы можем обозначить диагонали как d1 и d2. Тогда:

d1 + d2 = 42 см.

Также в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Следовательно, мы можем выразить длины диагоналей через стороны ромба:

d1 = 2x и d2 = 2y, где x и y - половины диагоналей.

Таким образом, у нас есть:

2x + 2y = 42 см, или x + y = 21 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить x и y через сторону ромба:

a^2 = x^2 + y^2, где a = 15 см.

Подставляем значение:

15^2 = x^2 + y^2, то есть 225 = x^2 + y^2.

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

• x + y = 21
• x^2 + y^2 = 225

Из первого уравнения выразим y:

y = 21 - x.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

x^2 + (21 - x)^2 = 225.

Раскроем скобки:

x^2 + (441 - 42x + x^2) = 225.

Соберем все в одно уравнение:

2x^2 - 42x + 441 - 225 = 0.

Упростим:

2x^2 - 42x + 216 = 0.

Теперь разделим все на 2:

x^2 - 21x + 108 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 * 1 * 108 = 441 - 432 = 9.

Теперь находим корни:

x1,2 = (21 ± √9) / 2 = (21 ± 3) / 2.

Это дает нам два значения:

• x1 = 12 см
• x2 = 9 см

Теперь, зная x, можем найти y:

• Если x = 12, то y = 21 - 12 = 9.
• Если x = 9, то y = 21 - 9 = 12.

Шаг 4: Вычисление площади

Теперь у нас есть длины диагоналей:

• d1 = 2 * 12 = 24 см
• d2 = 2 * 9 = 18 см

Теперь можем вычислить площадь ромба:

S = (d1 * d2) / 2 = (24 * 18) / 2 = 432 / 2 = 216 см².

Ответ:

Площадь ромба составляет 216 см².