Как решить задачу в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, а биссектриса AK в два раза больше расстояния от точки K до прямой AB, при этом гипотенуза AB равна 32 см? Как найти катет AC?

Геометрия 10 класс Биссектрисы в треугольниках прямоугольный треугольник угол C биссектриса AK расстояние K до AB гипотенуза AB катет AC задача по геометрии решение треугольника свойства треугольников Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и биссектрисы. Давайте начнем с того, что обозначим стороны треугольника:

• AB - гипотенуза, равная 32 см;
• AC - один из катетов;
• BC - другой катет;
• K - точка пересечения биссектрисы AK с стороной BC.

По свойству биссектрисы, она делит угол пополам, и в нашем случае это значит, что:

• Угол ACB равен 90°, следовательно, угол AKC будет равен 45°.

Теперь рассмотрим расстояние от точки K до прямой AB. Обозначим это расстояние как d. По условию задачи, длина биссектрисы AK в два раза больше этого расстояния:

• AK = 2d.

Для нахождения длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно использовать формулу:

• AK = (2 * AC * BC) / (AC + BC).

Теперь, зная, что AK = 2d, мы можем записать:

• (2 * AC * BC) / (AC + BC) = 2d.

Упростим это уравнение:

• AC * BC / (AC + BC) = d.

Теперь нам нужно выразить d через стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике можно найти высоту, проведенную из точки C на гипотенузу AB, используя формулу:

• d = (AC * BC) / AB.

Подставим значение AB:

• d = (AC * BC) / 32.

Теперь подставим это значение d в уравнение:

• AC * BC / (AC + BC) = (AC * BC) / 32.

Умножив обе стороны на 32, получим:

• 32 * AC * BC / (AC + BC) = AC * BC.

Теперь упростим это уравнение:

• 32 * AC * BC = AC * BC * (AC + BC).

Если AC * BC не равно нулю, можем разделить обе стороны на AC * BC:

• 32 = AC + BC.

Теперь мы знаем, что сумма катетов AC и BC равна 32 см. Обозначим:

• AC = x,
• BC = 32 - x.

Теперь можем выразить катеты через одну переменную:

• AC = x,
• BC = 32 - x.

Используя теорему Пифагора, у нас есть:

• x^2 + (32 - x)^2 = 32^2.

Раскроем скобки:

• x^2 + (1024 - 64x + x^2) = 1024.

Соберем все в одно уравнение:

• 2x^2 - 64x + 1024 - 1024 = 0.

Упрощаем:

• 2x^2 - 64x = 0.

Вынесем 2x:

• 2x(x - 32) = 0.

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 0 (не подходит, так как AC не может быть равен 0),
• x = 32 (что также не подходит, так как это значение для BC).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что катеты AC и BC равны:

• AC = 16 см,
• BC = 16 см.

Итак, катет AC равен 16 см.

1 2 3 4 5