Каково отношение площадей треугольников АВС и AMN, если точки М и N расположены на продолжениях сторон АВ и АС треугольника АВС, а отношения отрезков AB к BM и AC к CN равны 7:2 и 3:5 соответственно?

Геометрия 10 класс Отношение площадей треугольников отношение площадей треугольников треугольник АВС точки М и N отрезки AB и BM отрезки AC и CN геометрия задачи по геометрии Новый

Для того чтобы найти отношение площадей треугольников ABC и AMN, мы можем воспользоваться свойством, которое связывает площади треугольников с отношениями длин их оснований и высот.

Давайте обозначим:

• AB = 7k (где k - некоторый множитель)
• BM = 2k
• AC = 3m (где m - некоторый множитель)
• CN = 5m

Теперь найдем полные длины отрезков:

• AM = AB + BM = 7k + 2k = 9k
• AN = AC + CN = 3m + 5m = 8m

Теперь мы можем записать отношение площадей треугольников ABC и AMN. Площадь треугольника пропорциональна произведению основания на высоту. В данном случае, высоты треугольников AMN и ABC будут одинаковыми, так как они проведены из одной точки A и перпендикулярны к одной и той же прямой. Таким образом, отношение площадей будет равно отношению оснований:

Отношение площадей треугольников ABC и AMN:

Площадь(ABC) / Площадь(AMN) = (AB AC) / (AM AN)

Подставим найденные значения:

Площадь(ABC) / Площадь(AMN) = (7k 3m) / (9k 8m)

Сократим k и m:

Площадь(ABC) / Площадь(AMN) = (7 3) / (9 8) = 21 / 72

Теперь упростим дробь:

• 21 и 72 имеют общий делитель 3.
• 21 / 3 = 7
• 72 / 3 = 24

Таким образом, мы получаем:

Отношение площадей треугольников ABC и AMN равно 7:24.