Какой угол образуют две касательные, проведенные из точки А к окружности с центром О и радиусом 4,5 см, если расстояние от точки О до точки А составляет 9 см?

Геометрия 10 класс Касательные к окружности угол касательные окружность центр радиус расстояние геометрия точка А точка О задача Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать некоторые свойства касательных к окружности и треугольников.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть окружность с центром в точке O и радиусом 4,5 см. Из точки A проведены две касательные к окружности. Нам нужно найти угол, образуемый этими двумя касательными.

Шаг 2: Построение и обозначения

Обозначим:

• OA - расстояние от центра окружности O до точки A, равное 9 см.
• OB - радиус окружности, равный 4,5 см.
• Угол, образуемый касательными, обозначим как угол AOB.

Шаг 3: Использование свойств касательных

Известно, что касательные к окружности из одной точки равны по длине и образуют с радиусом, проведенным в точку касания, прямой угол. Таким образом, мы можем рассмотреть треугольник OAB, где:

• OA - это сторона, равная 9 см;
• OB - это радиус, равный 4,5 см;
• AB - это длины касательных, которые равны, но нам не нужно знать их длину для решения задачи.

Шаг 4: Применение теоремы Пифагора

В треугольнике OAB, где угол OAB - прямой, мы можем использовать теорему Пифагора:

OA² = OB² + AB²

Подставим известные значения:

9² = 4,5² + AB²

81 = 20,25 + AB²

AB² = 81 - 20,25 = 60,75

AB = √60,75 ≈ 7,8 см

Шаг 5: Находим угол AOB

Теперь, чтобы найти угол AOB, мы можем использовать тригонометрические функции. В данном случае, мы можем использовать косинус:

cos(AOB) = OB / OA = 4,5 / 9 = 0,5

Теперь находим угол AOB:

Угол AOB = arccos(0,5) = 60°.

Ответ: Угол, образуемый двумя касательными, проведенными из точки A к окружности, составляет 60°.