Для решения задачи начнем с того, что определим координаты вершин прямой треугольной призмы АВСА1B1C1. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(b, 0, 0)
• C(0, h, 0)
• A1(0, 0, d)
• B1(b, 0, d)
• C1(0, h, d)

Теперь определим координаты точек P, Q и R на ребрах АА1, А1В1 и ВС соответственно:

1. Точка P на ребре АА1 делит его в отношении 2:1. Это значит, что:
• Координаты P можно найти по формуле: P = (0, 0, 2/3 * d).
2. Точка Q на ребре А1В1 делит его пополам, так как AQ = QB1. Таким образом:
• Координаты Q = (b/2, 0, d).
3. Точка R на ребре BC делит его в отношении 2:3. Это значит, что:
• Координаты R можно найти по формуле: R = (0, 2/5 * h, 0).

Теперь у нас есть координаты точек P, Q и R:

• P(0, 0, 2/3 * d)
• Q(b/2, 0, d)
• R(0, 2/5 * h, 0)

Следующим шагом найдем уравнение плоскости PQR. Для этого используем векторное произведение векторов PQ и PR:

1. Вектор PQ = Q - P = (b/2 - 0, 0 - 0, d - 2/3 * d) = (b/2, 0, 1/3 * d).
2. Вектор PR = R - P = (0 - 0, 2/5 * h - 0, 0 - 2/3 * d) = (0, 2/5 * h, -2/3 * d).

Теперь найдем векторное произведение PQ и PR:

Определим координаты нормали N к плоскости PQR:

• N = PQ x PR = (b/2, 0, 1/3 * d) x (0, 2/5 * h, -2/3 * d).

Вычисляем детерминант:

• N_x = 0 * (-2/3 * d) - (1/3 * d) * (2/5 * h) = -2/15 * d.
• N_y = (1/3 * d) * 0 - (b/2) * (-2/3 * d) = b/3.
• N_z = (b/2) * (2/5 * h) - 0 * 0 = b * h / 5.

Таким образом, нормаль к плоскости PQR имеет координаты N(-2/15 * d, b/3, b * h / 5).

Теперь найдем уравнение плоскости PQR, используя точку P и нормаль N:

Уравнение плоскости имеет вид:

-2/15 * d * (x - 0) + (b/3) * (y - 0) + (b * h / 5) * (z - 2/3 * d) = 0.

Теперь найдем, в каком отношении плоскость PQR делит ребро AC. Ребро AC можно задать параметрически:

A(0, 0, 0) и C(0, h, 0), поэтому его можно записать как:

(0, t, 0), где 0 ≤ t ≤ h.

Подставим координаты точки на ребре AC в уравнение плоскости:

-2/15 * d * 0 + (b/3) * t + (b * h / 5) * (0 - 2/3 * d) = 0.

Упростим уравнение:

(b/3) * t - (2/15 * b * h * d / 5) = 0.

Решим это уравнение для t:

t = (2/15 * h * d) / (1/3) = (2/5 * h * d).

Теперь найдем, в каком отношении плоскость делит ребро AC:

Точка деления находится на расстоянии t от точки A до точки C. Поскольку AC имеет длину h, то:

Отношение деления AC будет 2:3, так как 2/5 от h и 3/5 от h.

Ответ: Плоскость PQR делит ребро AC в отношении 2:3.