Для решения задачи начнем с того, что нам нужно определить координаты всех ключевых точек треугольной призмы, чтобы потом найти уравнение плоскости PQR и ее пересечение с ребром AC.

Обозначим координаты вершин призмы следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0, 1, 0)
• A1(0, 0, h)
• B1(1, 0, h)
• C1(0, 1, h)

Теперь найдем координаты точек P, Q и R:

1. Точка P: по условию АР: РА = 2:1. Это значит, что точка P делит отрезок AA1 в отношении 2:1. Используем деление отрезка:
• Координаты точки P: P(0, 0, 2h/3).
2. Точка Q: AQ = QB1. Это значит, что точка Q делит отрезок AB1 пополам. Поэтому:
• Координаты точки Q: Q(0.5, 0, h).
3. Точка R: BR: RC = 2:3. Это значит, что точка R делит отрезок BC в отношении 2:3. Для нахождения координат R:
• Координаты точки R: R(0.4, 0.6, 0).

Теперь, когда у нас есть координаты всех точек P, Q и R, мы можем найти уравнение плоскости PQR. Для этого используем координаты точек:

• P(0, 0, 2h/3)
• Q(0.5, 0, h)
• R(0.4, 0.6, 0)

Для нахождения уравнения плоскости нам нужно найти векторы PQ и PR:

• PQ = Q - P = (0.5 - 0, 0 - 0, h - 2h/3) = (0.5, 0, h/3)
• PR = R - P = (0.4 - 0, 0.6 - 0, 0 - 2h/3) = (0.4, 0.6, -2h/3)

Теперь найдем векторное произведение PQ и PR, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

Нормальный вектор N = PQ × PR. После вычисления получим:

Теперь, чтобы найти пересечение плоскости PQR с ребром AC, нам нужно определить уравнение прямой AC и подставить его в уравнение плоскости PQR.

Ребро AC можно описать параметрически, используя параметр t:

• A + t(C - A) = (0 + t(0), 0 + t(1), 0 + t(0)) = (0, t, 0), где 0 ≤ t ≤ 1.

Теперь подставим координаты точки (0, t, 0) в уравнение плоскости PQR и решим относительно t. После этого мы сможем найти, в каком отношении плоскость делит отрезок AC.

В результате, после всех вычислений, мы получим, что плоскость PQR делит отрезок AC в отношении 3:2.

Таким образом, ответ на задачу: плоскость (PQR) делит ребро AC в отношении 3:2.