В четырехугольнике АВСД, который можно вписать в окружность, угол А в два раза больше угла С, а угол В в три раза меньше угла С. Какова градусная мера угла Д?

Геометрия 10 класс Углы вписанного четырехугольника четырёхугольник вписанный в окружность угол А угол В угол С угол Д градусная мера угла геометрия задачи по геометрии Новый

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и суммой углов в четырехугольнике.

Пусть угол С равен x градусов. Тогда, согласно условию задачи:

• Угол A = 2x (угол A в два раза больше угла C)
• Угол B = x/3 (угол B в три раза меньше угла C)

Теперь найдем угол D. Мы знаем, что в любом выпуклом четырехугольнике сумма всех углов равна 360 градусам. Таким образом, можем записать уравнение:

A + B + C + D = 360

Подставим известные значения:

2x + x/3 + x + D = 360

Теперь нужно привести все члены уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для 1 и 3 - это 3. Умножим все части уравнения на 3:

1. 3 * (2x) = 6x
2. 3 * (x/3) = x
3. 3 * x = 3x
4. 3 * D = 3D

Теперь у нас есть:

6x + x + 3x + 3D = 1080

Сложим все x:

10x + 3D = 1080

Теперь выразим угол D:

3D = 1080 - 10x

D = (1080 - 10x) / 3

Теперь нам нужно найти значение x. Мы знаем, что сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому мы можем использовать это уравнение:

2x + x/3 + x + D = 360

Подставим D из предыдущего уравнения:

2x + x/3 + x + (1080 - 10x) / 3 = 360

Теперь нужно избавиться от дробей. Умножим все уравнение на 3:

3 * (2x) + 3 * (x/3) + 3 * x + (1080 - 10x) = 1080

Это даст:

6x + x + 3x + 1080 - 10x = 1080

Сложим все x:

0 = 1080 - 1080

Это уравнение верно для любого значения x, что указывает на то, что мы можем выбрать любое значение для угла C, которое удовлетворяет условиям задачи. Однако, чтобы найти угол D, мы можем использовать информацию о том, что сумма углов D, A, B и C должна равняться 360 градусам.

Теперь, чтобы найти угол D, мы можем подставить любое значение x, например, x = 60 (это значение удобно, так как оно делится на 3 и 2):

Тогда:

• Угол C = 60 градусов
• Угол A = 2 * 60 = 120 градусов
• Угол B = 60 / 3 = 20 градусов

Теперь подставим значения в уравнение для угла D:

D = 360 - (A + B + C) = 360 - (120 + 20 + 60) = 360 - 200 = 160 градусов.

Таким образом, градусная мера угла D равна 160 градусам.