В основании прямоугольного параллелепипеда находится квадрат; диагональ параллелепипеда составляет 3√6 см, а его размеры относятся как 3:3:6. Определите:

1. Размеры параллелепипеда;
2. Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Геометрия 10 класс Прямоугольный параллелепипед прямоугольный параллелепипед размеры параллелепипеда диагональ параллелепипеда синус угла геометрия 10 класс квадрат в основании отношения размеров задачи по геометрии Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определение размеров параллелепипеда.

Пусть размеры параллелепипеда равны 3x, 3x и 6x, где x - общий множитель. Мы знаем, что диагональ параллелепипеда можно вычислить по формуле:

Диагональ D = √(a² + b² + c²),

где a, b и c - размеры параллелепипеда. В нашем случае:

• a = 3x
• b = 3x
• c = 6x

Подставим размеры в формулу для диагонали:

D = √((3x)² + (3x)² + (6x)²) = √(9x² + 9x² + 36x²) = √(54x²) = √(54) * x = 3√6 * x.

По условию задачи, диагональ параллелепипеда равна 3√6 см. Таким образом, мы можем приравнять:

3√6 * x = 3√6.

Теперь делим обе стороны на 3√6:

x = 1.

Теперь подставим значение x обратно, чтобы найти размеры параллелепипеда:

• Длина = 3x = 3 * 1 = 3 см
• Ширина = 3x = 3 * 1 = 3 см
• Высота = 6x = 6 * 1 = 6 см

Таким образом, размеры параллелепипеда: 3 см, 3 см и 6 см.

2. Определение синуса угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Для нахождения синуса угла между диагональю и плоскостью основания используем следующее:

Синус угла α между диагональю и плоскостью основания можно найти по формуле:

sin(α) = h / D,

где h - высота параллелепипеда, а D - длина диагонали основания.

Сначала найдем диагональ основания (квадратное основание с размерами 3 см и 3 см):

D основание = √(3² + 3²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2 см.

Теперь подставим известные значения в формулу для синуса:

h = 6 см (высота параллелепипеда),

D = 3√2 см (диагональ основания).

Теперь можем найти:

sin(α) = h / D = 6 / (3√2) = 2 / √2 = √2.

Таким образом, синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен √2.

Ответ:

• Размеры параллелепипеда: 3 см, 3 см, 6 см.
• Синус угла между диагональю и плоскостью основания: √2.