В правильном тетраэдре DABCD найди угол между прямыми MN и BD, где M и N — середины рёбер AD и DC.

Геометрия 10 класс Углы между прямыми в пространстве угол между прямыми правильный тетраэдр середины ребер геометрия 10 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти угол между прямыми MN и BD в правильном тетраэдре DABCD, давайте сначала определим координаты вершин тетраэдра. Для простоты выберем следующие координаты:

• D(0, 0, 0)
• A(1, 0, 0)
• B(0.5, 0.5 * sqrt(3), 0)
• C(0.5, 0.5 * sqrt(3) / 3, sqrt(2/3))

Теперь найдем координаты точек M и N, которые являются серединами рёбер AD и DC соответственно:

• M — середина AD:
• M = ((0 + 1)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (0.5, 0, 0)
• N — середина DC:
• N = ((0 + 0.5)/2, (0 + 0.5 * sqrt(3) / 3)/2, (0 + sqrt(2/3))/2) = (0.25, 0.25 * sqrt(3) / 6, sqrt(2/6))

Теперь у нас есть координаты точек M и N. Далее найдем векторы MN и BD:

• Вектор MN:
• MN = N - M = (0.25 - 0.5, (0.25 * sqrt(3) / 6) - 0, (sqrt(2/6) - 0)) = (-0.25, 0.25 * sqrt(3) / 6, sqrt(2/6))
• Вектор BD:
• BD = D - B = (0 - 0.5, 0 - 0.5 * sqrt(3), 0 - 0) = (-0.5, -0.5 * sqrt(3), 0)

Теперь мы можем найти угол между векторами MN и BD, используя скалярное произведение:

Скалярное произведение векторов MN и BD:

• MN * BD = (-0.25) * (-0.5) + ((0.25 * sqrt(3) / 6) * (-0.5 * sqrt(3))) + (sqrt(2/6) * 0)
• MN * BD = 0.125 - (0.25 * sqrt(3) * sqrt(3) / 12) = 0.125 - (3/48) = 0.125 - 0.0625 = 0.0625

Теперь найдем длины векторов MN и BD:

• Длина MN:
• |MN| = sqrt((-0.25)^2 + (0.25 * sqrt(3) / 6)^2 + (sqrt(2/6))^2) = sqrt(0.0625 + (0.25^2 * 3 / 36) + (2/6)) = sqrt(0.0625 + 0.00520833 + 0.333333) = sqrt(0.40004167)
• Длина BD:
• |BD| = sqrt((-0.5)^2 + (-0.5 * sqrt(3))^2 + 0^2) = sqrt(0.25 + (0.25 * 3)) = sqrt(1) = 1

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами:

cos(θ) = (MN * BD) / (|MN| * |BD|) = 0.0625 / (sqrt(0.40004167) * 1)

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(0.0625 / sqrt(0.40004167)).

Таким образом, угол между прямыми MN и BD в правильном тетраэдре DABCD можно найти, используя приведенные выше шаги и вычисления.