В равнобедренном треугольнике АВС известно, что стороны ВС и СА равны и составляют 8√3. Какова высота, опущенная на сторону АВ, если тангенс угла A равен √3?

Геометрия 10 класс Равнобедренные треугольники равнобедренный треугольник стороны треугольника высота треугольника тангенс угла геометрия задача по геометрии решение задачи Новый

Решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определим обозначения.

• Обозначим сторону AB как c, а стороны BC и CA как a = b = 8√3.
• Угол A обозначим как α.

Шаг 2: Используем информацию о тангенсе угла A.

По условию задачи, тангенс угла A равен √3. Мы знаем, что:

• tan(α) = √3.

Это значение соответствует углу 60 градусов, то есть α = 60°.

Шаг 3: Найдем высоту h, опущенную на сторону AB.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит его пополам и образует два прямоугольных треугольника. Обозначим высоту как h. В каждом из этих прямоугольных треугольников:

• Одна из катетов (высота h) противолежит углу α.
• Другой катет (половина основания AB) равен c/2.

Шаг 4: Используем тангенс для нахождения высоты.

По определению тангенса:

• tan(α) = противолежащий катет / прилежащий катет.
• tan(60°) = h / (c/2).

Подставим значение тангенса:

• √3 = h / (c/2).

Шаг 5: Найдем сторону AB.

Используем теорему косинусов, чтобы найти сторону AB:

• c² = a² + b² - 2ab * cos(α).
• Подставим значения: c² = (8√3)² + (8√3)² - 2 * (8√3) * (8√3) * cos(60°).
• cos(60°) = 1/2, поэтому:
• c² = 192 + 192 - 2 * 48 * (1/2) = 192 + 192 - 48 = 336.
• c = √336 = 4√21.

Шаг 6: Подставим значение c в формулу для h.

Теперь мы можем найти высоту h:

• √3 = h / (4√21/2).
• √3 = h / (2√21).

Перемножим обе стороны на 2√21:

• h = 2√21 * √3 = 2√63 = 6√7.

Ответ:

Высота, опущенная на сторону AB, равна 6√7.