Похожие вопросы
2025-05-09 19:02:15
В равнобедренном треугольнике АВС известно, что стороны ВС и СА равны и составляют 8√3. Какова высота, опущенная на сторону АВ, если тангенс угла A равен √3?
Геометрия 10 класс Равнобедренные треугольники равнобедренный треугольник стороны треугольника высота треугольника тангенс угла геометрия задача по геометрии решение задачи
2025-05-09 19:02:31
Решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определим обозначения.- Обозначим сторону AB как c, а стороны BC и CA как a = b = 8√3.
- Угол A обозначим как α.
По условию задачи, тангенс угла A равен √3. Мы знаем, что:
- tan(α) = √3.
Это значение соответствует углу 60 градусов, то есть α = 60°.
Шаг 3: Найдем высоту h, опущенную на сторону AB.В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит его пополам и образует два прямоугольных треугольника. Обозначим высоту как h. В каждом из этих прямоугольных треугольников:
- Одна из катетов (высота h) противолежит углу α.
- Другой катет (половина основания AB) равен c/2.
По определению тангенса:
- tan(α) = противолежащий катет / прилежащий катет.
- tan(60°) = h / (c/2).
Подставим значение тангенса:
- √3 = h / (c/2).
Используем теорему косинусов, чтобы найти сторону AB:
- c² = a² + b² - 2ab * cos(α).
- Подставим значения: c² = (8√3)² + (8√3)² - 2 * (8√3) * (8√3) * cos(60°).
- cos(60°) = 1/2, поэтому:
- c² = 192 + 192 - 2 * 48 * (1/2) = 192 + 192 - 48 = 336.
- c = √336 = 4√21.
Теперь мы можем найти высоту h:
- √3 = h / (4√21/2).
- √3 = h / (2√21).
Перемножим обе стороны на 2√21:
- h = 2√21 * √3 = 2√63 = 6√7.
Высота, опущенная на сторону AB, равна 6√7.
