Похожие вопросы
2025-09-21 19:51:53
Вопрос: Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины отрезков AB, AD, BC и CD являются вершинами параллелограмма.
Геометрия 10 класс Параллелограмм в пространстве геометрия точки параллелограмм отрезки доказательство середины отрезков A B C D плоскость Новый
2025-09-21 19:52:13
Чтобы доказать, что середины отрезков AB, AD, BC и CD являются вершинами параллелограмма, начнем с обозначений. Пусть M, N, P и Q - середины отрезков AB, AD, BC и CD соответственно. Нам нужно показать, что фигура MNPQ является параллелограммом.
Для этого мы воспользуемся свойством средних линий в треугольниках и векторов. Напомним, что середина отрезка делит его пополам. Таким образом, мы можем записать координаты точек M, N, P и Q через векторы, соединяющие точки A, B, C и D.
- Координаты середины отрезка AB:
M = (A + B) / 2
- Координаты середины отрезка AD:
N = (A + D) / 2
- Координаты середины отрезка BC:
P = (B + C) / 2
- Координаты середины отрезка CD:
Q = (C + D) / 2
Теперь мы можем рассмотреть векторы MP и NQ:
- Вектор MP:
MP = P - M = (B + C) / 2 - (A + B) / 2 = (C - A) / 2
- Вектор NQ:
NQ = Q - N = (C + D) / 2 - (A + D) / 2 = (C - A) / 2
Мы видим, что векторы MP и NQ равны, что означает, что стороны MP и NQ параллельны и равны.
Теперь рассмотрим векторы MN и PQ:
- Вектор MN:
MN = N - M = (A + D) / 2 - (A + B) / 2 = (D - B) / 2
- Вектор PQ:
PQ = Q - P = (C + D) / 2 - (B + C) / 2 = (D - B) / 2
Аналогично, мы видим, что векторы MN и PQ также равны, что означает, что стороны MN и PQ параллельны и равны.
Таким образом, мы показали, что:
- Стороны MP и NQ равны и параллельны.
- Стороны MN и PQ равны и параллельны.
Следовательно, фигура MNPQ является параллелограммом, так как у нее есть две пары равных и параллельных сторон.
Вывод: Середины отрезков AB, AD, BC и CD действительно являются вершинами параллелограмма.