Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 5, а площадь круга, описанного около основания пирамиды равна 12Pi. Каков радиус шара, вписанного в эту пирамиду?

Геометрия 11 класс Вписанные и описанные фигуры апофема правильная шестиугольная пирамида площадь круга радиус шара вписанный шар геометрия 11 класс задачи по геометрии формулы геометрии объём пирамиды свойства пирамиды Новый

Для того чтобы найти радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, давайте разберем задачу по шагам.

1. Начнем с информации о пирамиде. У нас есть апофема пирамиды, равная 5, и площадь круга, описанного около основания пирамиды, равная 12π. Площадь круга можно выразить через радиус R этого круга: S = πR². Отсюда, зная площадь, мы можем найти радиус:

• 12π = πR²
• R² = 12
• R = √12 = 2√3 ≈ 3.46.

2. Теперь мы должны понять, как связаны апофема, высота пирамиды и радиус вписанного шара. В сечении пирамиды, проведенном через апофемы, мы получаем равнобедренный треугольник, где основание этого треугольника равно 2a, где a - половина основания.

3. Высота h этого треугольника можно найти через апофему L и основание a. Используем теорему Пифагора:

• L² = a² + h².

Подставляя известные значения, мы получаем:

• 5² = a² + h².

4. Теперь давайте найдем a. Мы уже знаем, что a = R - b, где b - высота пирамиды из центра основания до вершины. Поскольку основание шестиугольное, b = R(1 - cos(30°)), где cos(30°) = √3/2. Подставляем R:

• b = 3.46(1 - √3/2) ≈ 3.46(1 - 0.866) ≈ 3.46 * 0.134 = 0.46.

5. Следовательно, a = 3.46 - 0.46 = 3.00. Теперь подставляем a в уравнение для h:

• 5² = 3² + h²
• 25 = 9 + h²
• h² = 16
• h = 4.

6. Теперь, чтобы найти радиус вписанного шара r, используем формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник:

• r = S/p, где S - площадь треугольника, а p - его полупериметр.

7. Площадь S равнобедренного треугольника можно найти как:

• S = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 2a * h = a * h = 3 * 4 = 12.

8. Полупериметр p равен (a + a + L) / 2 = (a + a + 5) / 2 = (2 * 3 + 5) / 2 = 11 / 2 = 5.5.

9. Теперь подставим все значения в формулу для r:

• r = 12 / 5.5 = 2.18 (примерно).

Таким образом, радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, равен примерно 2.18.