В равнобедренной трапеции, у которой основания равны 4 и 9, известно, что можно вписать окружность. Какой радиус этой окружности?

Геометрия 11 класс Вписанные и описанные фигуры равнобедренная трапеция вписанная окружность радиус окружности геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Давайте решим задачу о нахождении радиуса вписанной окружности в равнобедренной трапеции, где основания равны 4 и 9.

Для начала напомним, что в трапеции можно вписать окружность, если сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим:

• a = 4 (длина меньшего основания)
• b = 9 (длина большего основания)
• c = d (длина боковых сторон, так как трапеция равнобедренная)

Согласно условию, должно выполняться равенство:

a + b = c + d

Подставим известные значения:

4 + 9 = c + c

Это упрощается до:

13 = 2c

Теперь найдем длину боковых сторон:

c = 13 / 2 = 6.5

Теперь мы знаем длины всех сторон трапеции: основания 4 и 9, и боковые стороны по 6.5.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности. Радиус R вписанной окружности в трапеции можно найти по формуле:

R = (S / p)

где S - площадь трапеции, а p - полупериметр.

Сначала найдем полупериметр p:

p = (a + b + c + d) / 2

Подставим значения:

p = (4 + 9 + 6.5 + 6.5) / 2 = 13 / 2 + 13 / 2 = 13

Теперь найдем площадь S. Площадь трапеции можно найти по формуле:

S = ((a + b) * h) / 2

Где h - высота трапеции. Чтобы найти высоту, воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Мы можем провести перпендикуляры из концов меньшего основания к большему основанию. Это создаст два прямоугольных треугольника.

Обозначим:

• h - высота трапеции
• x - половина разности оснований, то есть x = (b - a) / 2 = (9 - 4) / 2 = 2.5

Теперь по теореме Пифагора в одном из треугольников:

c^2 = h^2 + x^2

Подставим известные значения:

(6.5)^2 = h^2 + (2.5)^2

Это дает:

42.25 = h^2 + 6.25

Следовательно:

h^2 = 42.25 - 6.25 = 36

h = 6

Теперь можем найти площадь S:

S = ((4 + 9) 6) / 2 = (13 6) / 2 = 39

Теперь подставим S и p в формулу для радиуса R:

R = S / p = 39 / 13 = 3

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 3.