Даны векторы а = {2; -2; 1}, в = {3; -4; 0}, С = {1; 2; -3}.

1. а) Найдите координаты вектора 2а - 3в.
2. б) Найдите длину векторов а, в и С.
3. в) Вычислите косинус угла между векторами в и С.

Геометрия 11 класс Векторы и операции с ними векторы координаты вектора длина вектора косинус угла геометрия 11 класс Новый

Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.

а) Найдите координаты вектора 2а - 3в.

Сначала мы умножим вектор а на 2 и вектор в на 3, а затем вычтем полученные векторы друг из друга.

• Вектор а = {2; -2; 1}. Умножим его на 2:
• 2а = {2*2; 2*(-2); 2*1} = {4; -4; 2}
• Вектор в = {3; -4; 0}. Умножим его на 3:
• 3в = {3*3; 3*(-4); 3*0} = {9; -12; 0}
• Теперь вычтем 3в из 2а:
• 2а - 3в = {4 - 9; -4 - (-12); 2 - 0} = {-5; 8; 2}

Таким образом, координаты вектора 2а - 3в равны {-5; 8; 2}.

б) Найдите длину векторов а, в и С.

Длина вектора вычисляется по формуле:

||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2

Где (x, y, z) - координаты вектора.

• Для вектора а = {2; -2; 1}:
• ||a|| = sqrt(2^2 + (-2)^2 + 1^2) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3
• Для вектора в = {3; -4; 0}:
• ||b|| = sqrt(3^2 + (-4)^2 + 0^2) = sqrt(9 + 16 + 0) = sqrt(25) = 5
• Для вектора С = {1; 2; -3}:
• ||C|| = sqrt(1^2 + 2^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14)

Таким образом, длины векторов следующие:

• Длина вектора а = 3
• Длина вектора в = 5
• Длина вектора С = sqrt(14)

в) Вычислите косинус угла между векторами в и С.

Косинус угла между двумя векторами можно вычислить по формуле:

cos(θ) = (в · С) / (||в|| * ||С||)

Где (в · С) - скалярное произведение векторов в и С, а ||в|| и ||С|| - их длины.

• Сначала найдем скалярное произведение векторов в и С:
• (в · С) = 3*1 + (-4)*2 + 0*(-3) = 3 - 8 + 0 = -5
• Теперь подставим значения в формулу:
• cos(θ) = (-5) / (5 * sqrt(14)) = -5 / (5sqrt(14)) = -1 / sqrt(14)

Таким образом, косинус угла между векторами в и С равен -1/sqrt(14).