Как можно определить длину биссектрисы внутреннего угла в треугольнике с вершинами А(3,0, -5), В(-3,0,3), С(-1,0, -2)?

Геометрия 11 класс Биссектрисы треугольника длина биссектрисы треугольник вершины угол геометрия 11 класс координаты формула биссектрисы вычисление длины угол треугольника Новый

Чтобы определить длину биссектрисы внутреннего угла в треугольнике с заданными вершинами, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим треугольник ABC с вершинами A(3, 0, -5), B(-3, 0, 3) и C(-1, 0, -2).

Шаг 1: Найти длины сторон треугольника

Для начала найдем длины сторон треугольника. Длину стороны можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

• Длина стороны AB:
1. Координаты A: (3, 0, -5)
2. Координаты B: (-3, 0, 3)
3. Расстояние AB = √((-3 - 3)² + (0 - 0)² + (3 - (-5))²) = √((-6)² + 0 + (8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
• Длина стороны BC:
1. Координаты B: (-3, 0, 3)
2. Координаты C: (-1, 0, -2)
3. Расстояние BC = √((-1 - (-3))² + (0 - 0)² + (-2 - 3)²) = √((2)² + 0 + (-5)²) = √(4 + 25) = √29.
• Длина стороны AC:
1. Координаты A: (3, 0, -5)
2. Координаты C: (-1, 0, -2)
3. Расстояние AC = √((-1 - 3)² + (0 - 0)² + (-2 - (-5))²) = √((-4)² + 0 + (3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Шаг 2: Использовать формулу для длины биссектрисы

Теперь, когда мы знаем длины сторон, можем использовать формулу для вычисления длины биссектрисы угла A:

l_a = (2 * b * c) / (b + c) * cos(A/2),

где:

• l_a - длина биссектрисы из вершины A;
• b - длина стороны AC;
• c - длина стороны AB;
• A - угол при вершине A.

Шаг 3: Найти угол A

Для нахождения угла A воспользуемся формулой косинуса:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc),

где a - длина стороны BC. Подставим известные значения:

• a = √29;
• b = 5;
• c = 10.

Теперь вычисляем cos(A):

cos(A) = (5² + 10² - (√29)²) / (2 * 5 * 10) = (25 + 100 - 29) / 100 = 96 / 100 = 0.96.

Шаг 4: Найти длину биссектрисы

Теперь можем найти длину биссектрисы:

l_a = (2 * 5 * 10) / (5 + 10) * cos(A/2).

Для cos(A/2) можем использовать формулу:

cos(A/2) = √((1 + cos(A)) / 2).

Подставляем значение:

cos(A/2) = √((1 + 0.96) / 2) = √(1.96 / 2) = √0.98.

Теперь подставляем все значения в формулу для длины биссектрисы:

l_a = (100 / 15) * √0.98 = 20/3 * √0.98.

Таким образом, длина биссектрисы угла A в треугольнике ABC равна 20/3 * √0.98.