Как можно вычислить площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что диагональное сечение этой пирамиды является прямоугольным треугольником с площадью 72 см²?

Геометрия 11 класс Площадь боковой поверхности пирамиды площадь боковой поверхности правильная четырехугольная пирамида диагональное сечение прямоугольный треугольник площадь 72 см² вычисление площади пирамиды Новый

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно сначала понять, какие данные мы имеем и как они связаны между собой.

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и равные боковые грани, которые являются равнобедренными треугольниками. В данном случае, мы знаем, что диагональное сечение пирамиды является прямоугольным треугольником с площадью 72 см².

Шаги для нахождения площади боковой поверхности:

1. Определение свойств сечения:
   • Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды проходит через вершину пирамиды и две противоположные вершины основания (квадрата).
   • Так как сечение является прямоугольным треугольником, его площадь можно выразить как: Площадь = (1/2) * основание * высота.
2. Определение основания и высоты:
   • Пусть основание треугольника равно a, а высота h. Тогда мы можем записать уравнение: (1/2) * a * h = 72.
   • Из этого уравнения можно выразить h через a: h = (144/a).
3. Нахождение высоты боковых граней:
   • Высота боковой грани треугольника равна h, а основание боковой грани является стороной квадрата основания (пусть это будет b).
   • Так как пирамида правильная, то b = a (где a - сторона квадрата). Таким образом, высота боковой грани равна h, а основание боковой грани равно b.
4. Вычисление площади боковой поверхности:
   • Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) можно найти по формуле: Площадь = (1/2) * основание * высота, где основание = b, высота = h.
   • Площадь одной боковой грани: (1/2) * b * h.
   • Поскольку у нас 4 боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет: Площадь боковой поверхности = 4 * (1/2) * b * h = 2 * b * h.

Теперь подставим h = (144/a) и b = a в формулу площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности = 2 * a * (144/a) = 288 см².

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 288 см².