Как вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y2= 2x, y = 0, x = 2, x = 4?

Геометрия 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращения геометрия 11 класс вычисление объёма ось Ох плоская фигура линии y2=2x y=0 x=2 x=4 Новый

Чтобы вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох, мы можем воспользоваться методом дисков. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Для начала определим область, ограниченную заданными линиями:

• y^2 = 2x - это уравнение параболы, которая открыта вправо.
• y = 0 - это ось абсцисс.
• x = 2 и x = 4 - это вертикальные линии, которые ограничивают область по оси Ох.

Теперь найдем точки пересечения параболы и оси y:

• Когда y = 0, x = 0 (это начало координат).

Таким образом, у нас есть область, заключенная между x = 2 и x = 4 под кривой y = sqrt(2x) (поскольку y^2 = 2x, то y = ±sqrt(2x), но нам нужна только положительная часть, так как y = 0).

Шаг 2: Запись формулы для объема

Объем тела вращения можно найти по формуле:

V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx

где f(x) - функция, описывающая верхнюю границу области (в нашем случае y = sqrt(2x)), а a и b - границы интегрирования (в нашем случае 2 и 4).

Шаг 3: Подстановка в формулу

Теперь подставим все известные значения в формулу:

V = π * ∫[2, 4] (sqrt(2x))^2 dx

Упрощая, получаем:

V = π * ∫[2, 4] (2x) dx

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

∫(2x) dx = x^2 + C

Теперь подставим пределы интегрирования:

V = π * [x^2] от 2 до 4

V = π * (4^2 - 2^2) = π * (16 - 4) = π * 12 = 12π

Шаг 5: Ответ

Таким образом, объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох, равен 12π кубических единиц.