Какой объем конуса, вписанного в шар радиуса R, если угол при вершине его осевого сечения равен 2(альфа)?

Какой объем шара, вписанного в конус с образующей 10 см и радиусом основания 6 см?

Геометрия 11 класс Объем тел вращения объем конуса объем шара конус вписанный в шар радиус R угол при вершине осевое сечение образующая конуса радиус основания геометрия 11 класс Новый

Давайте разберем оба вопроса по очереди.

1. Объем конуса, вписанного в шар радиуса R с углом при вершине 2α:

Для начала вспомним, что объем конуса можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания конуса, h - высота конуса.

При этом основание конуса будет кругом, а его радиус можно определить через угол α и радиус шара R. Из геометрии известно, что радиус основания конуса (r) можно выразить через радиус шара (R) и угол α следующим образом:

r = R * sin(α).

Теперь найдем высоту конуса (h). В осевом сечении конуса и шара образуется треугольник, где:

• гипотенуза - это радиус шара R,
• одна из катетов - это высота конуса h,
• другая катет - это радиус основания конуса r.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:

cos(α) = h / R,

откуда h = R * cos(α).

Теперь подставим выражения для r и h в формулу объема конуса:

V = (1/3) * π * r² * h = (1/3) * π * (R * sin(α))² * (R * cos(α)).

Упрощая, получаем:

V = (1/3) * π * R³ * sin²(α) * cos(α).

Это и есть объем конуса, вписанного в шар радиуса R с углом при вершине 2α.

2. Объем шара, вписанного в конус с образующей 10 см и радиусом основания 6 см:

Для начала найдем высоту конуса (h). Используем теорему Пифагора:

h = sqrt(10² - 6²) = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8 см.

Теперь найдем радиус шара, который вписан в конус. Радиус шара (r) можно найти по формуле:

r = (R * h) / (R + h),

где R - радиус основания конуса, а h - высота конуса. Подставим известные значения:

r = (6 * 8) / (6 + 8) = 48 / 14 = 24/7 см.

Теперь найдем объем шара:

V = (4/3) * π * r³.

Подставляем значение r:

V = (4/3) * π * (24/7)³ = (4/3) * π * (13824/343) = (55392/1029) * π см³.

Таким образом, объем шара, вписанного в конус, составляет (55392/1029) * π см³.