Помогите решить, пожалуйста! Какой объем тела получится, если вращать правильный треугольник со стороной вокруг оси, которая проходит через его вершину и параллельна противоположной стороне?

Геометрия 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращение треугольника правильный треугольник ось вращения геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти объем тела, получающегося при вращении правильного треугольника вокруг оси, параллельной одной из его сторон, давайте сначала определим параметры нашего треугольника и оси вращения.

1. **Определим правильный треугольник.**

• Сторона треугольника равна a.
• Высота правильного треугольника h вычисляется по формуле: h = (a * √3) / 2.

2. **Определим ось вращения.**

Ось проходит через одну из вершин треугольника и параллельна основанию. Предположим, что мы вращаем треугольник вокруг вершины A, а основание BC будет находиться на расстоянии h от этой оси.

3. **Найдем объем тела вращения.**

При вращении правильного треугольника вокруг оси, параллельной основанию, образуется конус. Объем конуса можно найти по формуле:

V = (1/3) * π * r² * h,

где r — радиус основания, а h — высота конуса.

4. **Определим радиус основания.**

В нашем случае радиус r будет равен половине основания треугольника, так как ось вращения проходит через вершину. Таким образом:

• r = a / 2.

5. **Подставим значения в формулу объема.**

Теперь, зная r и h, мы можем подставить их в формулу объема:

V = (1/3) * π * (a/2)² * h.

6. **Подставим значение высоты h.**

Теперь подставим h = (a * √3) / 2:

V = (1/3) * π * (a/2)² * (a * √3) / 2.

7. **Упростим выражение.**

• V = (1/3) * π * (a² / 4) * (a * √3) / 2.
• V = (1/3) * π * (a³ * √3) / 8.
• V = (π * a³ * √3) / 24.

Таким образом, объем тела, получающегося при вращении правильного треугольника со стороной a вокруг оси, проходящей через его вершину и параллельной противоположной стороне, равен:

V = (π * a³ * √3) / 24.