Каков объем прямой призмы, основание которой представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 4, если плоскость, проходящая через большее основание трапеции и середину противоположного бокового ребра, образует угол 60° с плоскостью основания, а площадь сечения равна 48?

Геометрия 11 класс Объем прямой призмы объем прямой призмы равнобедренная трапеция площадь сечения угол с плоскостью геометрия 11 класс Новый

Для нахождения объема прямой призмы, основание которой представляет собой равнобедренную трапецию, нам нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы.

Площадь сечения, указанная в условии, равна 48. Так как сечение проходит через большее основание трапеции и середину противоположного бокового ребра, мы можем использовать эту информацию для нахождения высоты призмы.

Шаг 2: Определим высоту призмы.

Площадь сечения равна произведению площади основания на высоту, деленное на 2:

• Площадь сечения = Площадь основания * h / 2

Где h - высота призмы. Мы знаем, что площадь сечения равна 48, и нам нужно найти высоту. Площадь основания равнобедренной трапеции можно найти по формуле:

• Площадь = (a + b) * h_trap / 2

где a и b - основания трапеции, h_trap - высота трапеции.

В нашем случае a = 8, b = 4. Чтобы найти высоту трапеции, нам нужно знать, как она связана с высотой призмы и углом 60°.

Шаг 3: Связь между высотой призмы и углом.

Поскольку плоскость сечения образует угол 60° с плоскостью основания, мы можем использовать тригонометрию:

• h = h_trap / cos(60°)

Так как cos(60°) = 0.5, то h = 2 * h_trap.

Шаг 4: Подставим значения.

Теперь мы можем выразить h_trap через h:

• h_trap = h / 2.

Теперь подставим это в формулу для площади основания:

• Площадь = (8 + 4) * (h / 2) / 2
• Площадь = 12 * (h / 2) / 2 = 3h.

Теперь подставим это значение в уравнение для площади сечения:

• 48 = 3h * h / 2.

Упрощаем это уравнение:

• 48 = (3/2)h^2.
• h^2 = 48 * (2/3) = 32.
• h = sqrt(32) = 4sqrt(2).

Шаг 5: Найдем объем призмы.

Теперь, когда мы знаем высоту призмы, можем найти объем:

• Объем = Площадь основания * высота.

Площадь основания равна 3h, а высота h = 4sqrt(2):

• Объем = 3 * (4sqrt(2)) * (4sqrt(2)) = 3 * 32 = 96.

Ответ: Объем прямой призмы равен 96.