Какова длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 2√3 см, а объем составляет 6 см³?

Геометрия 11 класс Правильные пирамиды длина бокового ребра правильная треугольная пирамида объём пирамиды сторона основания геометрия 11 класс

Для нахождения длины бокового ребра правильной треугольной пирамиды нам нужно использовать формулу объема пирамиды и некоторые свойства правильного треугольника.

Объем V правильной треугольной пирамиды можно рассчитать по формуле:

V = (1/3) * S * h

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

1. Сначала найдем площадь основания S. Основание пирамиды является правильным треугольником со стороной a = 2√3 см. Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a² * √3) / 4

Подставим значение стороны:

• a² = (2√3)² = 4 * 3 = 12
• S = (12 * √3) / 4 = 3√3 см²

2. Теперь мы можем подставить найденную площадь S в формулу объема V и решить уравнение для высоты h:

6 = (1/3) * (3√3) * h

Умножим обе стороны на 3:

18 = 3√3 * h

Теперь разделим обе стороны на 3√3:

h = 18 / (3√3) = 6 / √3 = 2√3 см

3. Теперь, когда мы знаем высоту h, можем найти длину бокового ребра. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро r, высота h и радиус вписанной окружности r_впис. основания образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности правильного треугольника можно найти по формуле:

r_впис = (a * √3) / 6

Подставим значение a:

r_впис = (2√3 * √3) / 6 = 2 / 2 = 1 см

4. Теперь можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины бокового ребра r:

r² = h² + r_впис²

Подставим значения h и r_впис:

• h = 2√3 см
• r_впис = 1 см

r² = (2√3)² + 1² = 12 + 1 = 13

Теперь найдем r:

r = √13 см

Итак, длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды составляет √13 см.

Давайте вместе разберемся с этой задачей! Это действительно увлекательно – находить длину бокового ребра правильной треугольной пирамиды!

Для начала, напомним, что объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

• V = (1/3) * S * h

Где:

• V – объем пирамиды;
• S – площадь основания;
• h – высота пирамиды.

Сторона основания равна 2√3 см. Площадь основания (S) правильного треугольника рассчитывается по формуле:

• S = (sqrt(3)/4) * a²

Где a – сторона основания. Подставим значение:

• S = (sqrt(3)/4) * (2√3)² = (sqrt(3)/4) * 12 = 3√3 см².

Теперь, используя объем, мы можем найти высоту (h):

• 6 = (1/3) * 3√3 * h.

Упрощаем уравнение:

• 6 = √3 * h;
• h = 6/√3 = 2√3 см.

Теперь, когда у нас есть высота, мы можем найти длину бокового ребра (l) с помощью теоремы Пифагора. Боковое ребро, высота и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник:

• l² = (a/2)² + h².

Подставляем значения:

• l² = (2√3/2)² + (2√3)² = (√3)² + (2√3)² = 3 + 12 = 15.

Таким образом, длина бокового ребра:

• l = √15 см.

Итак, длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды составляет √15 см! Это действительно здорово – решать такие задачи! Надеюсь, ты тоже вдохновился на изучение геометрии!