Какова высота и апофема усеченной правильной треугольной пирамиды, все ребра которой равны 12 см, если она пересечена плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты?

Геометрия 11 класс Усеченные пирамиды высота усеченной правильной треугольной пирамиды апофема усеченной пирамиды геометрия 11 класс правильная треугольная пирамида равные ребра плоскость параллельная основанию середина высоты задачи по геометрии объём усечённой пирамиды свойства пирамиды Новый

Давайте начнем с анализа задачи. У нас есть усеченная правильная треугольная пирамида, где все ребра равны 12 см. Мы хотим найти высоту и апофему этой пирамиды после того, как она была пересечена плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты.

Шаг 1: Найдем апофему полной пирамиды.

• Для начала определим апофему пирамиды. Апофема - это высота боковой грани, и мы можем рассчитать её, используя теорему Пифагора.
• В нашем случае, пирамида имеет равные ребра длиной 12 см. Мы можем представить прямоугольный треугольник, где одна сторона равна половине основания (в данном случае высота треугольника) и другая сторона - это высота от вершины до центра основания.
• Таким образом, мы можем выразить высоту боковой грани следующим образом: √(12² - (6)²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см.

Шаг 2: Найдем высоту основания правильного треугольника.

• Высота правильного треугольника (основания) определяется по формуле h = (√3/2) * a, где a - длина стороны треугольника. В нашем случае a = 12 см.
• Следовательно, высота основания равна h = (√3/2) * 12 = 6√3 см.

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды.

• Теперь определим высоту пирамиды. В правильном треугольнике точка центра (пересечение высот, медиан и биссектрис) делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, высота от вершины до центра основания (обозначим её HO) составит 6√3 / 3 = 2√3 см.
• Теперь нам нужно найти полную высоту пирамиды (обозначим её SO). Используя теорему Пифагора, мы можем выразить SO как √(SH² - HO²), где SH - это высота всей пирамиды.
• Находим SH: SH = √(12² + (6√3)²) = √(144 + 108) = √252 = 6√7 см.
• Теперь подставляем в формулу: SO = √(SH² - HO²) = √(108 - 12) = √96 = 4√6 см.

Шаг 4: Определим высоту и апофему усеченной пирамиды.

• Так как секущая плоскость проведена параллельно основанию и проходит через середину высоты, она делит и высоту, и апофему пополам.
• Следовательно, высота усеченной пирамиды будет равна 4√6 / 2 = 2√6 см.
• Апофема также делится пополам, то есть будет равна 6√3 / 2 = 3√3 см.

Ответ: Высота усеченной пирамиды равна 2√6 см, апофема равна 3√3 см.