Для решения задачи начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника. Пусть меньший катет равен 5x, а больший катет равен 12x, где x - некоторый положительный коэффициент.

Теперь найдем гипотенузу c с помощью теоремы Пифагора:

• c = sqrt((5x)² + (12x)²)
• c = sqrt(25x² + 144x²)
• c = sqrt(169x²)
• c = 13x

Теперь мы можем найти радиусы окружностей, описанной и вписанной вокруг треугольника. Радиус описанной окружности R прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

• R = c / 2 = (13x) / 2 = 6.5x

Радиус вписанной окружности r вычисляется по формуле:

• r = (a + b - c) / 2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.
• Подставим значения: r = (5x + 12x - 13x) / 2 = 4x / 2 = 2x.

Теперь у нас есть радиусы окружностей:

• R = 6.5x
• r = 2x

По условию задачи разница радиусов окружности, описанной и окружности, вписанной, равна 9 см:

• R - r = 9 см
• 6.5x - 2x = 9
• 4.5x = 9
• x = 9 / 4.5 = 2.

Теперь, когда мы нашли x, можем найти значения катетов:

• Меньший катет: 5x = 5 * 2 = 10 см.
• Больший катет: 12x = 12 * 2 = 24 см.

Таким образом, значение меньшего катета в прямоугольном треугольнике равно 10 см.