Каково значение меньшего катета в прямоугольном треугольнике, если отношение катетов составляет 5:12, а разница радиусов окружности, описанной вокруг этого треугольника, и окружности, вписанной в него, равна 9 см?

Геометрия 11 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник катеты радиусы окружностей отношение катетов геометрия 11 класс задача на катеты окружность описанная окружность вписанная разница радиусов вычисление катета Новый

Для решения задачи начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника. Пусть меньший катет равен 5x, а больший катет равен 12x, где x - некоторый положительный коэффициент.

Теперь найдем гипотенузу c с помощью теоремы Пифагора:

• c = sqrt((5x)² + (12x)²)
• c = sqrt(25x² + 144x²)
• c = sqrt(169x²)
• c = 13x

Теперь мы можем найти радиусы окружностей, описанной и вписанной вокруг треугольника. Радиус описанной окружности R прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

• R = c / 2 = (13x) / 2 = 6.5x

Радиус вписанной окружности r вычисляется по формуле:

• r = (a + b - c) / 2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.
• Подставим значения: r = (5x + 12x - 13x) / 2 = 4x / 2 = 2x.

Теперь у нас есть радиусы окружностей:

• R = 6.5x
• r = 2x

По условию задачи разница радиусов окружности, описанной и окружности, вписанной, равна 9 см:

• R - r = 9 см
• 6.5x - 2x = 9
• 4.5x = 9
• x = 9 / 4.5 = 2.

Теперь, когда мы нашли x, можем найти значения катетов:

• Меньший катет: 5x = 5 * 2 = 10 см.
• Больший катет: 12x = 12 * 2 = 24 см.

Таким образом, значение меньшего катета в прямоугольном треугольнике равно 10 см.