Какой объем имеет прямая призма, основание которой состоит из прямоугольного треугольника с одним катетом длиной 3 см и углом 60 градусов, если диагональ боковой грани, которая содержит гипотенузу этого треугольника, равна 10 см? Пожалуйста, приложите чертеж, данные и решение задачи.

Геометрия 11 класс Объем прямой призмы объем прямая призма основание прямоугольный треугольник катет 3 см угол 60 градусов диагональ боковой грани гипотенуза треугольника чертёж задачи решение задачи по геометрии Новый

Для решения задачи о нахождении объема прямой призмы, основание которой представляет собой прямоугольный треугольник, давайте сначала определим все необходимые параметры треугольника и призмы.

Шаг 1: Определим параметры основания (прямоугольного треугольника).

Дано:

• Один катет (a) = 3 см
• Угол (α) = 60 градусов

В прямоугольном треугольнике мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения второго катета (b) и гипотенузы (c).

Шаг 2: Найдем второй катет (b).

Используем соотношение:

• tan(α) = противолежащий катет / прилежащий катет = b / a

Так как угол α = 60 градусов, мы знаем, что:

• tan(60) = √3 ≈ 1.732

Теперь подставим известные значения:

• √3 = b / 3

Таким образом, находим b:

• b = 3 * √3 ≈ 3 * 1.732 ≈ 5.196 см

Шаг 3: Найдем гипотенузу (c).

Используем теорему Пифагора:

• c = √(a² + b²)

Подставим значения:

• c = √(3² + (3√3)²) = √(9 + 27) = √36 = 6 см

Шаг 4: Найдем высоту боковой грани призмы.

Дано, что диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, равна 10 см. Боковая грань образована гипотенузой треугольника и высотой призмы (h).

Используем теорему Пифагора для боковой грани:

• d² = c² + h²

Подставляем известные значения:

• 10² = 6² + h²
• 100 = 36 + h²
• h² = 100 - 36 = 64
• h = √64 = 8 см

Шаг 5: Найдем объем призмы.

Объем V прямой призмы можно найти по формуле:

• V = S * h

Где S - площадь основания (прямоугольного треугольника).

Шаг 6: Найдем площадь основания S.

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

• S = (1/2) * a * b

Подставим значения:

• S = (1/2) * 3 * (3√3) = (1/2) * 9√3 ≈ 7.794 см²

Шаг 7: Подставим значения в формулу объема.

Теперь можем найти объем призмы:

• V = S * h = 7.794 * 8 ≈ 62.352 см³

Ответ: Объем данной прямой призмы составляет примерно 62.352 см³.