Какой объём имеет прямоугольный параллелепипед, если его основание является квадратом, а диагональ боковой грани, равная 8 см, образует угол 30 градусов с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Объём прямоугольного параллелепипеда объём прямоугольного параллелепипеда основание квадрат диагональ боковой грани угол 30 градусов геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, начнём с анализа данных, которые мы имеем.

1. **Определим параметры параллелепипеда**: - Основание является квадратом, следовательно, его стороны равны. Обозначим длину стороны квадрата как "a". - Высота параллелепипеда обозначим как "h". 2. **Используем данные о диагонали боковой грани**: - Боковая грань параллелепипеда представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна "a" (сторона квадрата), а другая сторона равна "h" (высота). - Диагональ боковой грани можно найти с помощью теоремы Пифагора: d = √(a² + h²), где d — это длина диагонали. - Из условия задачи нам известно, что d = 8 см. 3. **Используем угол между диагональю и плоскостью основания**: - Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания равен 30 градусов. - Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты "h". - Из определения косинуса угла: cos(30°) = h / d. - Подставим известные значения: cos(30°) = √3 / 2 и d = 8 см. - Тогда у нас получится: h / 8 = √3 / 2. - Умножим обе стороны на 8: h = 8 * (√3 / 2) = 4√3 см. 4. **Теперь найдём сторону квадрата "a"**: - Подставим значение h в уравнение для диагонали: 8 = √(a² + (4√3)²). - Упростим: 8 = √(a² + 48). - Возведём обе стороны в квадрат: 64 = a² + 48. - Переносим 48 на другую сторону: a² = 64 - 48 = 16. - Извлекаем корень: a = 4 см. 5. **Теперь можем найти объём параллелепипеда**: - Объём V вычисляется по формуле: V = a² * h. - Подставим найденные значения: V = 4² * (4√3) = 16 * 4√3 = 64√3 см³.

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда равен 64√3 см³.