У меня возник вопрос по геометрии: если диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2а, а одна из сторон основания составляет а, и если диагональ образует угол 45° с плоскостью боковой грани, содержащей эту сторону, как можно вычислить объем параллелепипеда? Помогите, пожалуйста!!

Геометрия 11 класс Объём прямоугольного параллелепипеда диагональ прямоугольного параллелепипеда объем параллелепипеда угол 45 градусов стороны основания геометрия 11 класс Новый

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. Мы знаем, что диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2а, и одна из сторон основания равна а. Также нам дано, что диагональ образует угол 45° с плоскостью боковой грани, содержащей эту сторону. Нам нужно найти объем параллелепипеда.

Шаг 1: Определим размеры параллелепипеда.

Обозначим стороны основания параллелепипеда как a и b, а высоту как h. Таким образом, мы имеем:

• Сторона основания: a
• Другая сторона основания: b
• Высота: h

Шаг 2: Найдем длину диагонали параллелепипеда.

Длина диагонали D параллелепипеда может быть найдена по формуле:

D = √(a² + b² + h²)

Поскольку нам известно, что D = 2a, мы можем записать уравнение:

√(a² + b² + h²) = 2a

Шаг 3: Упростим уравнение.

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

a² + b² + h² = (2a)²

Это дает нам:

a² + b² + h² = 4a²

Теперь упростим его:

b² + h² = 4a² - a²

b² + h² = 3a²

Шаг 4: Используем угол 45° для нахождения связи между h и b.

Мы знаем, что диагональ образует угол 45° с плоскостью боковой грани. Это означает, что:

tan(45°) = h / b = 1

Отсюда следует, что h = b.

Шаг 5: Подставим h в уравнение.

Теперь подставим h = b в уравнение b² + h² = 3a²:

b² + b² = 3a²

2b² = 3a²

Следовательно, b² = (3/2)a²

Итак, b = a√(3/2).

Шаг 6: Найдем высоту.

Поскольку h = b, то:

h = a√(3/2).

Шаг 7: Вычислим объем параллелепипеда.

Объем V параллелепипеда рассчитывается по формуле:

V = a * b * h.

Подставляем найденные значения:

V = a * (a√(3/2)) * (a√(3/2))

V = a * (3/2)a²

V = (3/2)a³.

Итак, объем параллелепипеда равен (3/2)a³.