Какой объем правильной треугольной пирамиды, если боковое ребро равно 4 см, а угол при вершине равен 60 градусов?

Геометрия 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды объем правильной треугольной пирамиды боковое ребро 4 см угол при вершине 60 градусов геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

В нашем случае основание пирамиды является равносторонним треугольником. Давайте сначала найдем его площадь S.

Для нахождения площади равностороннего треугольника можно использовать формулу:

S = (a^2 * √3) / 4

где a - длина стороны треугольника. В нашем случае нам нужно сначала найти длину стороны a.

Мы знаем, что боковое ребро пирамиды равно 4 см, а угол при вершине равен 60 градусов. Используем тригонометрию для нахождения стороны основания:

• Обозначим боковое ребро как OA, где O - вершина пирамиды, а A - одна из вершин основания.
• Угол AOB равен 60 градусов, где B - центр основания.
• В треугольнике OAB, где OA - боковое ребро, OB - высота от вершины до основания, а AB - половина стороны основания, мы можем использовать синус угла:

sin(60) = (AB) / OA

Подставляем известные значения:

√3/2 = (AB) / 4

Теперь найдем AB:

AB = 4 * (√3/2) = 2√3

Так как AB - это половина стороны основания, то сторона основания a равна:

a = 2 * AB = 2 * 2√3 = 4√3

Теперь подставим значение a в формулу для площади S:

S = ( (4√3)^2 * √3) / 4

Сначала найдем (4√3)^2:

(4√3)^2 = 16 * 3 = 48

Теперь подставим в формулу:

S = (48 * √3) / 4 = 12√3

Теперь нам нужно найти высоту h. Мы можем использовать косинус угла при вершине:

cos(60) = (h) / OA

Подставляем известные значения:

1/2 = h / 4

Теперь найдем h:

h = 4 * (1/2) = 2

Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения объема V:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (12√3) * 2

Упрощаем:

V = (1/3) * 24√3 = 8√3

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 8√3 см³.