В правильной треугольной пирамиде боковое ребро составляет 2 корня из 3, а высота равна корню из 3. Как можно определить объём этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды правильная треугольная пирамида объём пирамиды боковое ребро высота пирамиды геометрия 11 класс Новый

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды необходимо знать формулу для объёма:

V = (1/3) * S * h

где V — объём пирамиды, S — площадь основания, h — высота пирамиды.

В данной задаче у нас есть боковое ребро и высота. Начнём с определения необходимых параметров.

1. Определим высоту основания треугольной пирамиды:

Поскольку основание пирамиды является правильным треугольником, его высота можно выразить через боковое ребро и высоту пирамиды. Обозначим:

• h — высота пирамиды (дано: h = корень из 3);
• l — боковое ребро (дано: l = 2 корня из 3);
• R — радиус описанной окружности основания;
• r — радиус вписанной окружности основания.

Сначала найдем радиус описанной окружности R. В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен:

R = a / (sqrt(3))

где a — сторона основания.

Также, для нахождения стороны a, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой, радиусом описанной окружности и боковым ребром:

l^2 = h^2 + R^2

Подставляем известные значения:

(2 корня из 3)^2 = (корень из 3)^2 + R^2

4 * 3 = 3 + R^2

12 = 3 + R^2

R^2 = 12 - 3 = 9

R = 3

2. Теперь найдем сторону основания a:

Поскольку R = a / (sqrt(3)), мы можем выразить a:

3 = a / (sqrt(3))

a = 3 * (sqrt(3))

3. Теперь найдем площадь основания S:

Площадь S правильного треугольника вычисляется по формуле:

S = (sqrt(3) / 4) * a^2

Подставим a:

S = (sqrt(3) / 4) * (3 * sqrt(3))^2 = (sqrt(3) / 4) * 27 = (27 * sqrt(3)) / 4

4. Теперь подставим значения в формулу для объёма V:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * ((27 * sqrt(3)) / 4) * (корень из 3)

V = (1/3) * (27 * 3) / 4 = (81 / 4) / 3 = 27 / 4

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды составляет 27/4.