Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды необходимо знать формулу для объёма:

V = (1/3) * S * h

где V — объём пирамиды, S — площадь основания, h — высота пирамиды.

В данной задаче у нас есть боковое ребро и высота. Начнём с определения необходимых параметров.

1. Определим высоту основания треугольной пирамиды:

Поскольку основание пирамиды является правильным треугольником, его высота можно выразить через боковое ребро и высоту пирамиды. Обозначим:

• h — высота пирамиды (дано: h = корень из 3);
• l — боковое ребро (дано: l = 2 корня из 3);
• R — радиус описанной окружности основания;
• r — радиус вписанной окружности основания.

Сначала найдем радиус описанной окружности R. В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен:

R = a / (sqrt(3))

где a — сторона основания.

Также, для нахождения стороны a, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой, радиусом описанной окружности и боковым ребром:

l^2 = h^2 + R^2

Подставляем известные значения:

(2 корня из 3)^2 = (корень из 3)^2 + R^2

4 * 3 = 3 + R^2

12 = 3 + R^2

R^2 = 12 - 3 = 9

R = 3

2. Теперь найдем сторону основания a:

Поскольку R = a / (sqrt(3)), мы можем выразить a:

3 = a / (sqrt(3))

a = 3 * (sqrt(3))

3. Теперь найдем площадь основания S:

Площадь S правильного треугольника вычисляется по формуле:

S = (sqrt(3) / 4) * a^2

Подставим a:

S = (sqrt(3) / 4) * (3 * sqrt(3))^2 = (sqrt(3) / 4) * 27 = (27 * sqrt(3)) / 4

4. Теперь подставим значения в формулу для объёма V:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * ((27 * sqrt(3)) / 4) * (корень из 3)

V = (1/3) * (27 * 3) / 4 = (81 / 4) / 3 = 27 / 4

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды составляет 27/4.