В правильной треугольной пирамиде, где боковое ребро составляет 6 см и наклонено к основанию под углом 30°, как можно найти объем этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды правильная треугольная пирамида объём пирамиды боковое ребро 6 см наклон 30 градусов геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро (обозначим его как OA) равно 6 см, и оно наклонено к основанию под углом 30°. Чтобы найти высоту пирамиды (обозначим ее как h), мы можем использовать тригонометрические соотношения.

• Рассмотрим треугольник OAB, где O - вершина пирамиды, A и B - вершины основания.
• В этом треугольнике угол AOB равен 30°.
• Согласно определению косинуса, мы можем записать: cos(30°) = h / OA.
• Подставим значения: cos(30°) = h / 6.
• Зная, что cos(30°) = √3 / 2, получаем: √3 / 2 = h / 6.
• Умножим обе стороны на 6: h = 6 * (√3 / 2) = 3√3 см.

Шаг 2: Найдем площадь основания.

Основание пирамиды - правильный треугольник. Сначала найдем длину стороны основания (AB).

• В треугольнике OAB угол AOB равен 30°, а OA - это боковое ребро, равное 6 см.
• Используем синус для нахождения стороны AB: sin(30°) = AB / OA.
• Так как sin(30°) = 1/2, то: 1/2 = AB / 6.
• Умножим обе стороны на 6: AB = 6 * (1/2) = 3 см.

Теперь, зная длину стороны правильного треугольника, можем найти его площадь.

• Площадь правильного треугольника S = (√3 / 4) * a², где a - длина стороны.
• Подставим a = 3 см: S = (√3 / 4) * (3)² = (√3 / 4) * 9 = (9√3) / 4 см².

Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

Объем V правильной пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

• Подставим наши значения: V = (1/3) * (9√3 / 4) * (3√3).
• Сначала умножим: (9√3 / 4) * (3√3) = (27 * 3) / 4 = 81 / 4.
• Теперь найдем объем: V = (1/3) * (81 / 4) = 27 / 4 см³.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет 27/4 см³ или 6.75 см³.