Дано:

• Квадрат ABCD, где A, B, C, D - вершины квадрата;
• O - точка пересечения диагоналей квадрата;
• S - точка, не лежащая в плоскости квадрата, такая что SO перпендикулярно плоскости ABC;
• SO = 5 см;
• AB = 10 см.

Найти:

• Угол между плоскостями DSC и ABC.

Решение:

1. Сначала определим координаты точек квадрата ABCD. Пусть:
   • A(0, 0, 0);
   • B(10, 0, 0);
   • C(10, 10, 0);
   • D(0, 10, 0);
   • O(5, 5, 0) - центр квадрата.
   • S(5, 5, 5) - так как SO = 5 см, S будет находиться на высоте 5 см над точкой O.
2. Теперь найдем уравнение плоскости ABC. Плоскость ABC находится в координатах z = 0, так как все точки A, B и C имеют z = 0. Таким образом, уравнение плоскости ABC: z = 0.
3. Теперь найдем уравнение плоскости DSC. Для этого найдем векторы DS и DC:
   • Вектор DS = S - D = (5 - 0, 5 - 10, 5 - 0) = (5, -5, 5);
   • Вектор DC = C - D = (10 - 0, 10 - 10, 0 - 10) = (10, 0, -10).
4. Теперь найдем нормальный вектор плоскости DSC, используя векторное произведение векторов DS и DC:
   • n = DS x DC = |i j k|
   • |5 -5 5|
   • |10 0 -10|
5. Вычисляя детерминант, получаем нормальный вектор n = (50, 50, 50).
6. Теперь найдем угол между плоскостями ABC и DSC. Угол между плоскостями определяется по нормальным векторам. Нормальный вектор плоскости ABC (n1) равен (0, 0, 1), а нормальный вектор плоскости DSC (n2) равен (50, 50, 50).
7. Используем формулу для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|)
   • Скалярное произведение n1 и n2: n1 * n2 = 0*50 + 0*50 + 1*50 = 50;
   • Длина n1: |n1| = 1;
   • Длина n2: |n2| = √(50^2 + 50^2 + 50^2) = √7500 = 50√3.
8. Теперь подставим значения в формулу: cos(θ) = 50 / (1 * 50√3) = 1 / √3.
9. Следовательно, угол θ = arccos(1/√3).

Рисунок:

Представьте квадрат ABCD на плоскости XY, где O - центр квадрата, а точка S расположена над ним на высоте 5 см. Линия SO перпендикулярна плоскости квадрата, что создает угол между плоскостью DSC и плоскостью ABC.

Таким образом, мы нашли угол между плоскостями DSC и ABC, который равен arccos(1/√3).