Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

1. Радиус описанной окружности около основания пирамиды.

Основание правильной треугольной пирамиды — это правильный треугольник. Давайте обозначим сторону этого треугольника как "a". Нам известно, что высота пирамиды равна 12 см, а боковое ребро — 13 см.

1. Начнем с нахождения стороны основания "a". Для этого используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и радиусом описанной окружности. Апофема — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к середине стороны основания. Обозначим апофему как "m".
2. Сначала найдем апофему "m" из треугольника, в котором боковое ребро — гипотенуза, а высота пирамиды — один из катетов:
• m² + 12² = 13²
• m² + 144 = 169
• m² = 25
• m = 5 см
3. Теперь найдем сторону "a" основания. Поскольку апофема делит сторону основания пополам, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике, где радиус описанной окружности "R" — гипотенуза, m — один из катетов, а половина стороны основания "a/2" — другой катет:
• (a/2)² + 12² = 13²
• (a/2)² + 144 = 169
• (a/2)² = 25
• a/2 = 5
• a = 10 см
4. Радиус описанной окружности "R" для правильного треугольника можно найти по формуле: R = a / (√3)
5. Подставляем значение a:
• R = 10 / √3 ≈ 5.77 см

2. Площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных боковых треугольников. Площадь одного бокового треугольника можно найти по формуле: (1/2) * основание * апофема.

1. Основание бокового треугольника — это сторона основания пирамиды "a", которая равна 10 см.
2. Апофема "m" уже найдена и равна 5 см.
3. Площадь одного бокового треугольника:
• Площадь = (1/2) * 10 * 5 = 25 см²
4. Поскольку у пирамиды три боковые грани, общая площадь боковой поверхности:
• Общая площадь = 3 * 25 = 75 см²

Таким образом, радиус описанной окружности около основания пирамиды составляет примерно 5.77 см, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 75 см².