Помогите, пожалуйста, только с полным условием и рисунком. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью боковой грани составляет 45°, а угол с плоскостью основания — 30°. Какой объем прямоугольного параллелепипеда, если его высота равна √2?

Геометрия 11 класс Объём прямоугольного параллелепипеда угол между диагональю и плоскостью прямоугольный параллелепипед объем параллелепипеда высота параллелепипеда геометрические задачи 11 класс Новый

Для решения этой задачи давайте сначала разберемся с условиями и понятиями, которые нам даны.

Имеется прямоугольный параллелепипед. Обозначим его высоту как h, которая равна √2. Также нам известны углы между диагональю параллелепипеда и плоскостями:

• Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 45°.
• Угол между диагональю и плоскостью основания равен 30°.

Теперь давайте вспомним, как выглядит диагональ прямоугольного параллелепипеда. Она проходит от одной вершины до противоположной и имеет длину, которую можно выразить через длины сторон параллелепипеда:

Длина диагонали D параллелепипеда с длинами сторон a, b и h (высота) вычисляется по формуле:

D = √(a² + b² + h²)

Поскольку h = √2, мы можем подставить это значение в формулу:

D = √(a² + b² + (√2)²) = √(a² + b² + 2)

Теперь давайте проанализируем углы. Угол между диагональю и плоскостью основания равен 30°. Это означает, что мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения отношения высоты к основанию:

tan(30°) = h / (√(a² + b²))

Зная, что tan(30°) = 1/√3, мы можем записать:

1/√3 = √2 / (√(a² + b²))

Теперь выразим √(a² + b²):

√(a² + b²) = √2 * √3 = √6

Теперь рассмотрим угол между диагональю и боковой гранью, который равен 45°. Мы можем записать аналогичное уравнение:

tan(45°) = h / a, где a - одна из сторон основания. Так как tan(45°) = 1, получаем:

1 = √2 / a

Отсюда a = √2.

Теперь у нас есть значение a. Подставим его в уравнение для √(a² + b²):

√( (√2)² + b²) = √6

√(2 + b²) = √6

2 + b² = 6

b² = 4

b = 2.

Теперь у нас есть все необходимые размеры параллелепипеда:

• Высота h = √2
• Длина a = √2
• Ширина b = 2

Теперь можем найти объем V параллелепипеда:

V = a * b * h = √2 * 2 * √2 = 2 * 2 = 4.

Ответ: Объем прямоугольного параллелепипеда равен 4.