Давайте решим задачу о правильной четырехугольной пирамиде.

1. Объем пирамиды

Формула для объема правильной пирамиды:

V = (1/3) * S_основания * h

Где:

• V - объем пирамиды
• S_основания - площадь основания
• h - высота пирамиды

Теперь найдем площадь основания. Основание является квадратом со стороной 6 см:

S_основания = a^2 = 6^2 = 36 см².

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (h). Мы знаем, что боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

В правильной пирамиде высота, образованная от вершины до центра основания, и наклонная высота боковой грани образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• угол между наклонной высотой и высотой пирамиды равен 30°
• гипотенуза - это наклонная высота боковой грани, а противолежащий катет - это высота пирамиды.

Используем функцию тангенса:

tan(30°) = h / (a/2), где a/2 - это половина стороны основания (3 см).

tan(30°) = 1/√3 (приблизительно 0.577).

Теперь подставим значения:

1/√3 = h / 3

Отсюда h = 3/√3 = √3 см.

Теперь можем подставить все найденные значения в формулу для объема:

V = (1/3) * 36 * √3 = 12√3 см³.

2. Площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковых граней:

S_полная = S_основания + S_боковые.

Площадь основания, как мы уже нашли, равна 36 см².

Теперь найдем площадь боковых граней. Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, у нас 4 боковые грани, каждая из которых является равнобедренным треугольником.

Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

S = (1/2) * основание * высота.

Основание треугольника - это сторона основания, равная 6 см, а высота - это наклонная высота, которую мы можем найти с помощью угла 30°.

Используем синус:

sin(30°) = h_боковой / (6/2) = h_боковой / 3.

h_боковой = 3 * sin(30°) = 3 * 0.5 = 1.5 см.

Теперь можем найти площадь одного треугольника:

S_треугольника = (1/2) * 6 * 1.5 = 4.5 см².

Так как у нас 4 боковые грани:

S_боковые = 4 * 4.5 = 18 см².

Теперь подставим все значения для площади полной поверхности:

S_полная = 36 + 18 = 54 см².

Ответ:

• Объем пирамиды: 12√3 см³.
• Площадь полной поверхности пирамиды: 54 см².

Рисунок:

Рисунок правильной четырехугольной пирамиды:

К сожалению, я не могу предоставить изображение, но вы можете нарисовать правильную четырехугольную пирамиду, где основание - квадрат, а вершина находится над центром квадрата. Укажите угол наклона боковых граней в 30° и высоту пирамиды, равную √3 см.