Давайте по порядку разберем каждую из ваших задач.

1. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды:

Для начала, нам нужно знать, как вычислить площадь поверхности правильной треугольной пирамиды. Площадь поверхности состоит из площади основания и площади боковых граней.

• Площадь основания: Основание является равносторонним треугольником, и его площадь можно вычислить по формуле:

Площадь = (корень из 3 / 4) * a^2, где a - длина стороны основания.

Подставляем a = 4 см:

Площадь основания = (корень из 3 / 4) * 4^2 = (корень из 3 / 4) * 16 = 4 * корень из 3 см².

• Площадь боковых граней: Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником. Высота боковой грани равна 5 см, а основание - это сторона основания, равная 4 см. Площадь одного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

Площадь одной боковой грани = (1/2) * 4 * 5 = 10 см². Поскольку у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:

Общая площадь боковых граней = 3 * 10 = 30 см².

Итак, общая площадь поверхности правильной треугольной пирамиды:

Площадь поверхности = Площадь основания + Общая площадь боковых граней = 4 * корень из 3 + 30 см².

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды:

Здесь основание является квадратом со стороной 10 см. Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать треугольник, который образуется между высотой пирамиды, половиной стороны квадрата и высотой боковой грани.

• Половина стороны основания: Половина стороны квадрата = 10 см / 2 = 5 см.
• Угол между боковой гранью и основанием: У нас есть угол 60°. Используем тригонометрию:

tan(угол) = противолежащий катет / прилежащий катет.

в нашем случае: tan(60°) = h / 5, где h - высота пирамиды.

Известно, что tan(60°) = корень из 3. Подставляем:

корень из 3 = h / 5.

Отсюда h = 5 * корень из 3 см.

3. Длина боковых ребер пирамиды:

Основание является ромбом со стороной 7 см и диагональю AC = 9 см. Для нахождения длины боковых ребер, нам нужно использовать свойства ромба и высоту пирамиды.

• Найдем вторую диагональ: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Если AC = 9 см, то AO = OC = 9/2 = 4.5 см.
• Сторона ромба: Сторона ромба = 7 см. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты ромба:

h = корень из (7^2 - (4.5^2)) = корень из (49 - 20.25) = корень из 28.75 см.

Теперь, чтобы найти длину бокового ребра, мы можем использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали и боковым ребром:

Длина бокового ребра = корень из (h^2 + (AO)^2) = корень из ((8^2) + (4.5^2)) = корень из (64 + 20.25) = корень из 84.25 см.

Таким образом, длина боковых ребер пирамиды составляет корень из 84.25 см.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.