Чтобы определить количество сторон правильного многоугольника, воспользуемся формулами для длины описанной окружности и длины стороны многоугольника.

Обозначим количество сторон многоугольника как n, длину стороны как a, а радиус описанной окружности как R.

Длина описанной окружности C правильного многоугольника равна:

• C = n * a

Также длина описанной окружности может быть выражена через радиус R как:

• C = 2 * π * R

Теперь у нас есть два выражения для длины описанной окружности. Мы можем приравнять их:

• n * a = 2 * π * R

Теперь вспомним, что для правильного многоугольника длина стороны a связана с радиусом описанной окружности R по следующей формуле:

• a = 2 * R * sin(π/n)

Подставим это значение в уравнение:

• n * (2 * R * sin(π/n)) = 2 * π * R

Теперь можем сократить на 2R (при условии, что R ≠ 0):

• n * sin(π/n) = π

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает количество сторон n с синусом:

• sin(π/n) = π/n

Теперь вернемся к условию задачи: отношение длины описанной окружности к длине стороны равно π√2. Это можно записать как:

• n * a / a = π√2
• n = π√2

Теперь мы знаем, что n должно быть целым числом. Из этого уравнения следует, что:

• n = π√2 ≈ 4.44

Это значение не является целым числом. Однако мы можем проверить, какое целое значение n ближе всего к этому значению. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, - это 5.

Таким образом, правильный многоугольник, для которого отношение длины описанной окружности к длине его стороны равно π√2, имеет 5 сторон.